Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Por lo tanto, $\sec (\arccos (x))$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 4.2

Combina $\cos (\frac{1}{x})$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$