Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\arctan (5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, 5 x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (5 x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, 5 x)$ . Por lo tanto, $\sin (\arctan (5 x))$ es $\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}]$

Paso 1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 (x))}^{2}}}]$

Paso 1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 5^{2} x^{2}}}]$

Paso 1.2.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 25 x^{2}}}]$

Paso 1.2.2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + 25 x^{2}}$ como ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + 25 x^{2}$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 11.3

Mueve ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 15

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 16

Combina fracciones.

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Paso 16.1

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 16.2

Combina $- 25$ y $\frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 16.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 18.2

Combina $- 2$ y $\frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (25 x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 18.3

Multiplica $25$ por $- 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 18.4

Combina $\frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x \cdot x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 20

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{1 + 1}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 22

Suma $1$ y $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{2}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 23

Factoriza $2$ de $- 50 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 24

Cancela los factores comunes.

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Paso 24.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 ({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 24.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 24.3

Reescribe la expresión.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 26

Para escribir ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 28

Multiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 28.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 28.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 28.3

Suma $1$ y $1$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 28.4

Divide $2$ por $2$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{1} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 29

Simplifica ${(1 + 25 x^{2})}^{1}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 25 x^{2} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 30

Resta $25 x^{2}$ de $25 x^{2}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 31

Suma $1$ y $0$ .

$5 \frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Paso 32

Reescribe $\frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$ como un producto.

$5 (\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + 25 x^{2}})$

Paso 33

Multiplica $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 25 x^{2})}$

Paso 34

Multiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + 25 x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 34.1

Multiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + 25 x^{2}$ .

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Paso 34.1.1

Eleva $1 + 25 x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Paso 34.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 34.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 34.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 34.4

Suma $1$ y $2$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35

Combina $5$ y $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 36

Reordena los términos.

$\frac{5}{{(25 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$