Cálculo Ejemplos

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ es $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ donde $f (n) = n$ y $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ es $f' (g (n)) g' (n)$ donde $f (n) = \ln (n)$ y $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ y $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{x}{n}$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $1$ con respecto a $n$ es $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.5

Como $x$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $\frac{x}{n}$ con respecto a $n$ es $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Combina $x$ y $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.6.2

Reescribe $\frac{1}{n}$ como $n^{- 1}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 3.8

Combina $\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ y $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 4

Multiplica $n$ por $n^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 4.2

Multiplica $n^{- 2}$ por $n$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 4.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 5

Mueve $n^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $\ln (1 + \frac{x}{n})$ por $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Paso 8

Para escribir $\ln (1 + \frac{x}{n})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Paso 9

Combina $\ln (1 + \frac{x}{n})$ y $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1.1

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.3.1.1.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 11.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.3.2

Reordena los factores en $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.4

Combina los términos.

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Paso 11.4.1

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Paso 11.4.2

Combina $\frac{x}{n}$ y $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Paso 11.4.3

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 11.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Paso 11.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Paso 11.6

Simplifica cada término.

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Paso 11.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Paso 11.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Paso 11.6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Paso 11.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$