Cálculo Ejemplos

$f (x) = \log (\log (x^{2} - 3))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = \log (x^{2} - 3)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\log (x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Paso 1.2

La derivada de $\log (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\log (x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Paso 2.2

La derivada de $\log (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Paso 3

Multiplica $\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)}$ por $\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10) (\log (x^{2} - 3) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 4

Eleva $\ln (10)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 5

Eleva $\ln (10)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{(x^{2} - 3) {\ln (10)}^{1 + 1} \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + 0)$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x)$

Paso 11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ .

$\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} x$

Paso 11.3

Combina $\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{(x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10)) \log (x^{2} - 3)}$

Paso 12.2

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{\log (x^{2} - 3) (x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10))}$