Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.12

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.13

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.15

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.15.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.15.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.15.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.15.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 2.15.4

Resta $1$ de $2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.4

Como $- 3^{\frac{1}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $3^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.13

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.14

Mueve $3^{\frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.15.1

Mueve $3^{- \frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15.2

Multiplica $3^{- \frac{1}{3}}$ por $3$ .

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Paso 3.15.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3^{1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + 1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{- 1 + 3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 3.15.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 4.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 4.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 4.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 5})$

Paso 4.8

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 x^{- 5}$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina los términos.

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Paso 6.1.1

Combina $- 12$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 12}{x^{5}}$

Paso 6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{12}{x^{5}}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$- \frac{12}{x^{5}} + 1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$