Cálculo Ejemplos

$f (z) = z^{2} \sqrt[3]{2 z - 5}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 z - 5}$ como ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z^{2}$ y $g (z) = {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [{(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{\frac{1}{3}}$ y $g (z) = 2 z - 5$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$z^{2} (\frac{{(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 8.3

Mueve ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ y $z^{2}$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 z - 5$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 z$ con respecto a $z$ es $2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 13

Como $- 5$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + 0) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 2 + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 14.2

Combina $\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ y $2$ .

$\frac{z^{2} \cdot 2}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 14.3

Mueve $2$ a la izquierda de $z^{2}$ .

$\frac{2 \cdot z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (2 z)$

Paso 16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$

Paso 17

Combina $\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ y $2 {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$ mediante un denominador común.

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Paso 17.1

Mueve ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 17.2

Para escribir $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 17.3

Combina $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 z^{2} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19

Multiplica ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z ({(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{1}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 20

Simplifica $6 z {(2 z - 5)}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z - 5)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2

Simplifica el numerador.

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Paso 21.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z \cdot z + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2.1.2

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 21.2.1.2.1

Mueve $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2.1.2.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2.1.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.2.2

Suma $2 z^{2}$ y $12 z^{2}$ .

$\frac{14 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.3

Factoriza $2 z$ de $14 z^{2} - 30 z$ .

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Paso 21.3.1

Factoriza $2 z$ de $14 z^{2}$ .

$\frac{2 z (7 z) - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.3.2

Factoriza $2 z$ de $- 30 z$ .

$\frac{2 z (7 z) + 2 z (- 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21.3.3

Factoriza $2 z$ de $2 z (7 z) + 2 z (- 15)$ .

$\frac{2 z (7 z - 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$