Cálculo Ejemplos

$f (z) = z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = z^{2}$ y $g (z) = z + 4$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [z + 4] + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $z + 4$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]$ .

$z^{2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$z^{2} (1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.4

Como $4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $4$ con respecto a $z$ es $0$ .

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.6

Suma $1$ y $0$ .

$z^{2} \cdot 1 + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.7

Multiplica $z^{2}$ por $1$ .

$z^{2} + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $z + 4$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ con respecto a $z$ es $- 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ es $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ donde $f (z) = z$ y $g (z) = z^{2} + 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica $z^{2} + 1$ por $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $2 z$ y $0$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z \cdot z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.11

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z^{1})}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{1 + 1}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.13

Suma $1$ y $1$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.14

Resta $2 z^{2}$ de $z^{2}$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.15

Combina $- 2$ y $\frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{- 2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$z^{2} + (2 z + 2 \cdot 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{2} + 2 (z^{1} z) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{2} + 2 (z^{1} z^{1}) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{2} + 2 z^{1 + 1} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$z^{2} + 2 z^{2} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$z^{2} + 2 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.6

Suma $z^{2}$ y $2 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.9

Para escribir $3 z^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}} - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} - (- 2 z^{2} + 2)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$