Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x {(x - 4)}^{3} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.7

Suma $1$ y $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.9

Multiplica ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ y $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Usa el teorema del binomio.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3.2.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Paso 4.3.3

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

Paso 4.3.4

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Paso 4.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Paso 4.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Paso 4.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Paso 4.3.5.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Paso 4.3.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Paso 4.3.5.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

Paso 4.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.7.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.3.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

Paso 4.3.7.3

Multiplica $16$ por $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

Paso 4.3.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.8.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.8.1.1

Mueve $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

Paso 4.3.8.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

Paso 4.3.8.2

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Paso 4.4

Suma $x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

Paso 4.5

Resta $24 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

Paso 4.6

Suma $48 x$ y $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$