Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 4 x - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 2$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Resta $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.3

Mueve ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + 0) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 4 + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Combina $\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ y $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Paso 15

Multiplica ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 16

Para escribir ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 17

Combina ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19

Multiplica ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 20

Simplifica ${(4 x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4 x + (4 x - 2) \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 21

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x - 2$ .

$\frac{4 x + 3 \cdot (4 x - 2)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.2

Simplifica el numerador.

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Paso 22.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.2.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{4 x + 12 x + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{4 x + 12 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.2.2

Suma $4 x$ y $12 x$ .

$\frac{16 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.3

Factoriza $2$ de $16 x - 6$ .

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Paso 22.3.1

Factoriza $2$ de $16 x$ .

$\frac{2 (8 x) - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.3.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 (8 x) + 2 (- 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 22.3.3

Factoriza $2$ de $2 (8 x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (8 x - 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$