Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (1 - \frac{4}{x + 3})$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{x + 3})]$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x \frac{x + 3 - 4}{x + 3}]$

Paso 1.3

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{x - 1}{x + 3}]$

Paso 1.4

Combina $x$ y $\frac{x - 1}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 1)}{x + 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (x - 1)$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x (x - 1)] - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x + 3) (x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) (x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \cdot 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.6.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.10

Simplifica la expresión.

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Paso 4.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 4.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande $(x + 3) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.2

Suma $- x$ y $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 1 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 3 + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2.3

Suma $5 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$