Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.4

Como $50$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $50$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.5

Como $- 0.1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.14

Combina $- 0.1$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.15

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.17

Resta $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.18

Combina $x$ y $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.19

Mueve $0.1$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.20

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.21.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.21.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.21.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.22

Multiplica $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.23

Para escribir $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.24

Combina $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.26

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.27

Resta $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 2.28

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (35 x + 500)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $35 x + 500$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

Paso 3.3

Como $35$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $35 x$ con respecto a $x$ es $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

Paso 3.5

Como $500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $500$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

Paso 3.6

Multiplica $35$ por $1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

Paso 3.7

Suma $35$ y $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $35$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Resta $35$ de $50$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Factoriza $0.3$ de $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 4.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 4.3.3

Separa las fracciones.

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Paso 4.3.4

Divide $0.3$ por $2$ .

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Paso 4.3.5

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.3.6

Multiplica $0.15$ por $- 1$ .

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$