Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{x - x^{8}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - x^{8}}$ como ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - x^{8}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - x^{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - x^{8}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3

Mueve ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (8 x^{7})) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 15

Multiplica ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reordena los términos.

$(1 - 8 x^{7}) \frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 16.2

Multiplica $1 - 8 x^{7}$ por $\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 16.3

Para escribir ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.4

Combina ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6

Simplifica el numerador.

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Paso 16.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.3

Multiplica $x^{7}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 16.6.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 8 (x \cdot x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.3.2

Multiplica $x$ por $x^{7}$ .

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Paso 16.6.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 8 (x^{1} x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - 8 x^{1 + 7} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.3.3

Suma $1$ y $7$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.4

Multiplica ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.6.4.1

Mueve ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.4.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.5

Simplifica ${(x - x^{8})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + (x - x^{8}) \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 8 x^{8} + x \cdot 2 - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.9

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{- 8 x^{8} + 3 x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.10

Resta $2 x^{8}$ de $- 8 x^{8}$ .

$\frac{- 10 x^{8} + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.11

Factoriza $x$ de $- 10 x^{8} + 3 x$ .

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Paso 16.6.11.1

Factoriza $x$ de $- 10 x^{8}$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.11.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.6.11.3

Factoriza $x$ de $x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 10 x^{7} + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.7

Factoriza $- 1$ de $- 10 x^{7}$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.8

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.9

Factoriza $- 1$ de $- (10 x^{7}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.10

Reescribe $- (10 x^{7} - 3)$ como $- 1 (10 x^{7} - 3)$ .

$\frac{x (- 1 (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (10 x^{7} - 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$