Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{5 - 3 x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 - 3 x}$ como ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - 3 x$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3

Mueve ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Combina $- 3$ y $\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 17

Multiplica ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 18

Para escribir ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Combina ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Multiplica ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 21.1

Mueve ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Simplifica ${(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x + (5 - 3 x) \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Mueve $2$ a la izquierda de $5 - 3 x$ .

$\frac{- 3 x + 2 \cdot (5 - 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x + 2 \cdot 5 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2

Simplifica el numerador.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{- 3 x + 10 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 3 x + 10 - 6 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.2.2

Resta $6 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- 9 x + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.3

Factoriza $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{- (9 x) + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.4

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x) - 1 (- 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.5

Factoriza $- 1$ de $- (9 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.6

Reescribe $- (9 x - 10)$ como $- 1 (9 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 x - 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$