Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \cos (2 x) + \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 5

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 6

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 7

Divide $2$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $\cos (2 x)$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 8.2

Divide $2$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Paso 11

Divide $0$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0 \sec (2 x)$

Paso 12

Multiplica $0$ por $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0$

Paso 13

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \tan (2 x) = - 2$

Paso 14

Divide cada término en $2 \tan (2 x) = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $2 \tan (2 x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 14.2.1.2

Divide $\tan (2 x)$ por $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{2}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$\tan (2 x) = - 1$

Paso 15

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$2 x = \arctan (- 1)$

Paso 16

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Paso 17

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 17.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Paso 17.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Paso 17.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Paso 17.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 17.3.2

Multiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 17.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Paso 17.3.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Paso 18

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 19

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 19.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 19.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Paso 19.3

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{4}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 19.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 19.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 19.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 19.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Paso 19.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 19.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 19.3.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 19.3.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Paso 19.3.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Paso 20

La solución a la ecuación $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{8}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \cos (2 (- \frac{π}{8})) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 22.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{8}$ al numerador.

$4 \cos (2 \frac{- π}{8}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.1.3

Cancela el factor común.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.1.4

Reescribe la expresión.

$4 \cos (\frac{- π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \cos (- \frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 \cos (\frac{7 π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$4 \cos (\frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 22.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{8}$ al numerador.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{8})$

Paso 22.1.7.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

Paso 22.1.7.3

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

Paso 22.1.7.4

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{- π}{4})$

Paso 22.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 22.1.9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 22.1.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 22.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 22.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.1.12.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.1.12.3

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.1.12.4

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

Paso 22.1.13

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Paso 22.2

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Paso 23

$x = - \frac{π}{8}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{π}{8}$ es un mínimo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{π}{8}$ .

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Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{8}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (- \frac{π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{8}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{- π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Paso 24.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{8}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{8}))$

Paso 24.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)}))$

Paso 24.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4}))$

Paso 24.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{- π}{4})$

Paso 24.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 24.2.1.8

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 24.2.1.9

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})$

Paso 24.2.1.10

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 24.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 24.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 24.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 24.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 24.2.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \sqrt{2}$

Paso 24.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{8}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 26.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.1.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.1.2

Cancela el factor común.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.1.3

Reescribe la expresión.

$4 \cos (\frac{3 π}{4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$4 (- \cos (\frac{π}{4})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.4.4

Reescribe la expresión.

$2 (- \sqrt{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 26.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.1.6.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

Paso 26.1.6.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

Paso 26.1.6.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 26.1.7

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 26.1.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.1.9.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.1.9.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.1.9.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Paso 26.2

Resta $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Paso 27

$x = \frac{3 π}{8}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{8}$ es un máximo local

Paso 28

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{8}$ .

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Paso 28.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{8}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2

Simplifica el resultado.

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Paso 28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 28.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.2

$f (\frac{3 π}{8}) = \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 28.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Paso 28.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}))$

Paso 28.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}))$

Paso 28.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 28.2.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

Paso 28.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 28.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 28.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2}$

Paso 28.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 29

Estos son los extremos locales de $f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$ .

$(- \frac{π}{8}, - \sqrt{2})$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{8}, \sqrt{2})$ es un máximo local

Paso 30