Cálculo Ejemplos

$x e^{- \frac{1}{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{- 2} x^{1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{- 2 + 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Suma $- 2$ y $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $e^{- \frac{1}{x}}$ por $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reordena los términos.

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 1} + e^{- \frac{1}{x}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$

Paso 10.2.2

Combina $e^{- \frac{1}{x}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$