Cálculo Ejemplos

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x - 3 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Cancela el factor común.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Paso 1.4.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a - 3 - 3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Paso 2.1.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Paso 2.1.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Paso 2.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Paso 2.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Paso 2.3

Combina los términos.

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Paso 2.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Paso 2.3.2

Resta $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x - 3 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $\ln (x)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Paso 5.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 \ln (x) = - a + 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 \ln (x) = - a + 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Paso 5.3.3.1.2

Divide $3$ por $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Paso 5.6

Reescribe la ecuación como $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Paso 9.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11