Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Paso 1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Combina $6$ y $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Paso 1.2.3.2

Combina $\frac{6}{1 + x^{12}}$ y $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Paso 1.2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{12} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $12 x^{11}$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4

Multiplica $x^{5}$ por $x^{11}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.3

Suma $11$ y $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Paso 2.5

Combina $6$ y $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.1

Multiplica $x^{12}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.3

Suma $4$ y $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.5

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.2

Resta $72 x^{16}$ de $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$6 x^{5} = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Divide cada término en $6 x^{5} = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $6 x^{5} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x^{5} = 0$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 5.3

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 42$ por $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.4

Multiplica $30$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1}$

Paso 7.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 8

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 8.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 8.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Paso 8.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Suma $4096$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.2.3.1

Multiplica $6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Paso 8.2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Paso 8.2.2.4

La respuesta final es $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Paso 8.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 8.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Suma $4096$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $6$ por $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Paso 8.3.2.4

La respuesta final es $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Paso 8.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 9