Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Paso 1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Paso 1.2.3.2

Combina $\frac{5}{1 + x^{10}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Paso 1.2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{10} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $10 x^{9}$ y $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4

Multiplica $x^{4}$ por $x^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.3

Suma $9$ y $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Paso 2.5

Combina $5$ y $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.4.1.1

Multiplica $x^{10}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.1.3

Suma $3$ y $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.1.5

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.4.2

Resta $50 x^{13}$ de $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.5

Factoriza $10 x^{3}$ de $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $10 x^{3}$ de $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.5.2

Factoriza $10 x^{3}$ de $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.5.3

Factoriza $10 x^{3}$ de $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.9

Reescribe $- (3 x^{10} - 2)$ como $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.11

Reordena los factores en $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$5 x^{4} = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Divide cada término en $5 x^{4} = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $5 x^{4} = 0$ por $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x^{4} = 0$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 5.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.3

Resta $2$ de $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 20$ por $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Paso 7.3.2

Divide $0$ por $1$ .

$- 0$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 8

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 8.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 8.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Paso 8.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Suma $1024$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Paso 8.2.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.2.3.1

Multiplica $5$ por $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Paso 8.2.2.3.2

Cancela el factor común de $80$ y $1025$ .

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Paso 8.2.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Paso 8.2.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Paso 8.2.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Paso 8.2.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Paso 8.2.2.4

La respuesta final es $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Paso 8.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 8.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Paso 8.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Paso 8.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Suma $1024$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Paso 8.3.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.3.2.3.1

Multiplica $5$ por $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Paso 8.3.2.3.2

Cancela el factor común de $80$ y $1025$ .

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Paso 8.3.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Paso 8.3.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Paso 8.3.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Paso 8.3.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Paso 8.3.2.4

La respuesta final es $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Paso 8.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 8.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 9