Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\arcsin (x) - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.9

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.15

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.16

Resta $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.17

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.18

Combina $- 2$ y $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.19

Combina $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.20

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.21

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.22

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.22.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.22.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.22.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.25

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.26

Combina ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ y $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.27

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.28

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.28.1

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x^{2}$ .

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Paso 2.2.28.1.1

Eleva $1 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.28.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.28.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.28.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.28.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

Paso 4

Resuelve $\sqrt{1 - x^{2}}$

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Paso 4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

Paso 4.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

Paso 4.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ por $\sqrt{1 - x^{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ por $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 4.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.4.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ .

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

Paso 4.4.2

Divide cada término en $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Divide cada término en $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.4.2.2.1.2

Divide $\sqrt{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

Paso 7.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Paso 7.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Paso 7.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

Paso 7.1.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Paso 7.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 7.2

Divide cada término en $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 7.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Paso 7.2.3.2

Divide $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Paso 7.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 7.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 7.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 7.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combinar.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.4

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 9.3.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 9.3.7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

Paso 9.3.7.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

Paso 9.4

Simplifica los términos.

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Paso 9.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

Paso 9.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 9.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Paso 9.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

Paso 9.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{3} \cdot 4$

Paso 9.6

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Paso 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{3}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 11.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 11.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Paso 11.2.1.3

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 13.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.4

Suma $- 3$ y $4$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 13.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 13.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 13.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 13.2.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.7.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 13.2.7.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

Paso 13.2.7.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Paso 13.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

Paso 13.3.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Paso 13.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Paso 13.3.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

Paso 13.3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Paso 13.3.3.4

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{3} \cdot 4$

Paso 13.3.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Paso 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ es un mínimo local

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ es un máximo local

Paso 17