Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln ({(3 x)}^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{2})]$

Paso 1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{2} x^{2})]$

Paso 1.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (9 x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{9 x^{2}}$ .

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Paso 1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Paso 1.3.4.2

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 1.3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 1.3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 1.3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- 2})$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{x} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6