Cálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x + \sin (9 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 1.3.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Paso 1.3.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Paso 1.3.5

Mueve $9$ a la izquierda de $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 9 \cos (9 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Paso 2.1.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \cos (9 x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 9 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Paso 2.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Paso 2.2.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Paso 2.2.6

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Paso 2.3

Resta $81 \sin (9 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Paso 4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Paso 5

Divide cada término en $9 \cos (9 x) = - 9$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $9 \cos (9 x) = - 9$ por $9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\cos (9 x)$ por $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide $- 9$ por $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$9 x = \arccos (- 1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$9 x = π$

Paso 8

Divide cada término en $9 x = π$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $9 x = π$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Paso 9

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$9 x = 2 π - π$

Paso 10

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Resta $π$ de $2 π$ .

$9 x = π$

Paso 10.2

Divide cada término en $9 x = π$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Divide cada término en $9 x = π$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Paso 11

La solución a la ecuación $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{9}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Cancela el factor común.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión.

$- 81 \sin (π)$

Paso 13.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 81 \sin (0)$

Paso 13.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Paso 13.4

Multiplica $- 81$ por $0$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \frac{π}{9})$ en la primera derivada $9 + 9 \cos (9 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Paso 14.2.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Paso 14.2.2.1.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Paso 14.2.2.2

Suma $9$ y $9$ .

$f' (0) = 18$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $18$ .

$18$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{π}{9}, \infty)$ en la primera derivada $9 + 9 \cos (9 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Paso 14.3.2.1.2

Evalúa $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Paso 14.3.2.1.3

Multiplica $9$ por $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Paso 14.3.2.2

Resta $2.62924927$ de $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $6.37075072$ .

$6.37075072$

Paso 14.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = \frac{π}{9}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 15