Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sec (x) \tan (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.5

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.7

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 2.3.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.3.5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Paso 2.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Paso 2.3.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

Paso 4

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Paso 6

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 7