Cálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.6.2

Resta $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{7}{5}$ y $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.8

Combina $9$ y $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.2.9

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 1.4

Como $10000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ y $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{63}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Paso 2.3.6.2

Resta $5$ de $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Paso 2.3.9

Multiplica $\frac{63}{5}$ por $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Paso 2.3.10

Multiplica $2$ por $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Paso 2.3.11

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Paso 2.3.12

Mueve $x^{- \frac{3}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 4.1.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Paso 4.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{7}{5}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.7

Combina $\frac{7}{5}$ y $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.8

Combina $9$ y $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Paso 4.1.4

Como $10000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Suma $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ y $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Paso 4.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Paso 5.2

Obtén un factor común $x^{\frac{2}{5}}$ que esté presente en cada término.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 5.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{2}{5}}$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Paso 5.4

Resuelve $u$

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Paso 5.4.1

Factoriza $u$ de $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $u$ de $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $u$ de $\frac{63 u}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $u$ de $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Paso 5.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Paso 5.4.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 5.4.4

Establece $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.4.1

Establece $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ igual a $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Paso 5.4.4.2

Resuelve $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ en $u$ .

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Paso 5.4.4.2.1

Resta $\frac{63}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Paso 5.4.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.4.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.4.2.3.1.1

Simplifica ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.4.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.3

Simplifica.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.1.1.4

Reordena los factores en ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.2.3.2.1

Simplifica ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.4.2.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Multiplica $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4

Divide cada término en $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ y simplifica.

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Paso 5.4.4.2.4.1

Divide cada término en $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ por ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.4.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4.2.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4.3.2

Combinar.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.4.2.4.3.3

Multiplica $63^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ verdadera.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.6

Resuelve para $x^{\frac{2}{5}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.2.1

Simplifica $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.6.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 5.6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm 0^{5}$

Paso 5.6.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = \pm 0$

Paso 5.6.2.2.1.4

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.7

Resuelve para $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ en $x$ .

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Paso 5.7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.7.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.2.2.1

Simplifica $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.7.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.7.2.2.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.2.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.7.2.2.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Paso 5.7.2.2.1.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.9

Excluye las soluciones que no hagan que $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ sea verdadera.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $25$ por $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 10 + \frac{126}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 10.2.2.2

La respuesta final es $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Paso 10.3

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11