Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x + 8 \cos (8 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos (8 x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Paso 1.3.6

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - 64 \sin (8 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Paso 2.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 \sin (8 x)$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Paso 2.2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Paso 2.2.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Paso 2.2.6

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $8$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Paso 2.3

Resta $512 \cos (8 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Paso 4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Paso 5

Divide cada término en $- 64 \sin (8 x) = - 8$ por $- 64$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 64 \sin (8 x) = - 8$ por $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 64$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (8 x)$ por $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $- 64$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Paso 5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $- 8$ de $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Paso 5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Paso 8

Divide cada término en $8 x = 0.12532783$ por $8$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $8 x = 0.12532783$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Divide $0.12532783$ por $8$ .

$x = 0.01566597$

Paso 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Resta $0.12532783$ de $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Paso 10.2

Divide cada término en $8 x = 3.01626482$ por $8$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $8 x = 3.01626482$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Divide $3.01626482$ por $8$ .

$x = 0.3770331$

Paso 11

La solución a la ecuación $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.01566597$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Paso 13

Multiplica $8$ por $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Paso 14

$x = 0.01566597$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0.01566597$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 0.01566597$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.01566597$ en la expresión.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $8$ por $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $8$ por $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Paso 15.2.2

Suma $0.12532783$ y $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.3770331$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Paso 17

Multiplica $8$ por $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Paso 18

$x = 0.3770331$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0.3770331$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 0.3770331$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.3770331$ en la expresión.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Multiplica $8$ por $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Paso 19.2.1.2

Multiplica $8$ por $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Paso 19.2.2

Suma $3.01626482$ y $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ es un máximo local

$(0.3770331, - 4.92098911)$ es un mínimo local

Paso 21