Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{9 - x^{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - x^{3}}$ como ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 - x^{3}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2})) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.14.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2}) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.2

Combina $- 3$ y $\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14.3

Combina $\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.15.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.15.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x^{1})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{2 + 1}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.18

Multiplica ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.19

Para escribir ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Combina ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22

Multiplica ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.22.1

Mueve ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23

Simplifica ${(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + (9 - x^{3}) \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.24

Mueve $2$ a la izquierda de $9 - x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot (9 - x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25

Simplifica.

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Paso 1.25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.25.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.25.2.1.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 - 2 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.4

Reescribe $18$ como $- 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.6

Reescribe $- (5 x^{3} - 18)$ como $- 1 (5 x^{3} - 18)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} - 18}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{5 x^{3} - 18}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 x^{3} - 18$ y $g (x) = {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.4

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{3} - 18$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.5

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2} + 0) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2}) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.5.6.2

Mueve $15$ a la izquierda de ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 \cdot ({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 - x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.16

Multiplica.

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Paso 2.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 1 (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.16.2

Multiplica $5 x^{3} - 18$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Paso 2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot (3 x^{2})}{9 - x^{3}}$

Paso 2.18

Combina fracciones.

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Paso 2.18.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x^{2}}{9 - x^{3}}$

Paso 2.18.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{9 - x^{3}}$

Paso 2.18.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{9 - x^{3}}$

Paso 2.18.4

Multiplica $\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) \frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x^{3}) \cdot 2}$

Paso 2.18.5

Mueve $2$ a la izquierda de $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x^{3})}$

Paso 2.19

Simplifica.

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Paso 2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.19.2.1

Multiplica $5 x^{3} - 18$ por $\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{(5 x^{3} - 18) (3 x^{2})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $5 x^{3} - 18$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{3 \cdot ((5 x^{3} - 18) x^{2})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.3

Para escribir $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.4

Combina $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ y $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6

Reescribe $\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.19.2.6.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}$ .

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Paso 2.19.2.6.1.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.1.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 (5 x^{3} - 18) x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 x^{2} (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.1.3

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 x^{2} (5 x^{3} - 18)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2

Combina exponentes.

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Paso 2.19.2.6.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.2

Multiplica ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.19.2.6.2.2.1

Mueve ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 ({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 (9 - x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.6.2.3

Simplifica $10 {(9 - x^{3})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 (9 - x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.19.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 \cdot 9 + 10 (- x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.7.2

Multiplica $10$ por $9$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (90 + 10 (- x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (90 - 10 x^{3} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.7.4

Resta $18$ de $90$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 10 x^{3} + 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.2.7.5

Suma $- 10 x^{3}$ y $5 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.3

Combina los términos.

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Paso 2.19.3.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x^{3})}$

Paso 2.19.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x^{3}}$

Paso 2.19.3.3

Reescribe $\frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x^{3}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x^{3}})$

Paso 2.19.3.4

Multiplica $\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{18 - 2 x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x^{3})}$

Paso 2.19.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.19.4.1

Factoriza $2$ de $18 - 2 x^{3}$ .

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Paso 2.19.4.1.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x^{3})}$

Paso 2.19.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x^{3}))}$

Paso 2.19.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (9) + 2 (- x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x^{3}))}$

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (9 - x^{3}))}$

Paso 2.19.4.2

Combina exponentes.

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Paso 2.19.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{3})}$

Paso 2.19.4.2.2

Eleva $9 - x^{3}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 ((9 - x^{3}) {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.19.4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.19.4.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3}) + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.6

Reescribe $72$ como $- 1 (- 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3}) - 1 \cdot - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (- 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3} - 72))}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.8

Reescribe $- (5 x^{3} - 72)$ como $- 1 (5 x^{3} - 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 1 (5 x^{3} - 72))}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.19.11

Multiplica $\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.19.12

Reordena los factores en $\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - x^{3}}$ como ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 - x^{3}$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.3

Mueve ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2})) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14

Combina fracciones.

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Paso 4.1.14.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2}) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.2

Combina $- 3$ y $\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14.3

Combina $\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.15

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.15.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.15.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.1.15.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x^{1})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{2 + 1}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.15.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.18

Multiplica ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.19

Para escribir ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20

Combina ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22

Multiplica ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.22.1

Mueve ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.23

Simplifica ${(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + (9 - x^{3}) \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.24

Mueve $2$ a la izquierda de $9 - x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot (9 - x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25

Simplifica.

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Paso 4.1.25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.25.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.25.2.1.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 - 2 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.4

Reescribe $18$ como $- 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{3}) - 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.6

Reescribe $- (5 x^{3} - 18)$ como $- 1 (5 x^{3} - 18)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.25.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 x^{3} - 18 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{3} = 18$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $5 x^{3} = 18$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $5 x^{3} = 18$ por $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{18}{5}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{18}{5}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{18}{5}$

Paso 5.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{\frac{18}{5}}$

Paso 5.3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{18}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{18}{5}}$ como $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 5.3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 5.3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Paso 5.3.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Paso 5.3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ como $5$ .

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Paso 5.3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5}$ como $5^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Paso 5.3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Paso 5.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ como $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Paso 5.3.4.4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} \sqrt[3]{25}}{5}$

Paso 5.3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{\sqrt[3]{18 \cdot 25}}{5}$

Paso 5.3.4.5.2

Multiplica $18$ por $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{{(9 - x^{3})}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{9 - x^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{9 - x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{9 - x^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{9 - x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - x^{3}}$ como ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(9 - x^{3})}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (9 - x^{3}) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 9 + 4 (- x^{3}) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$36 + 4 (- x^{3}) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$36 - 4 x^{3} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$36 - 4 x^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{3} = - 36$

Paso 6.3.3.2

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{3} + 36 = 0$

Paso 6.3.3.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3} + 36$ .

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Paso 6.3.3.3.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 36 = 0$

Paso 6.3.3.3.2

Factoriza $- 4$ de $36$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot - 9 = 0$

Paso 6.3.3.3.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{3}) - 4 (- 9)$ .

$- 4 (x^{3} - 9) = 0$

Paso 6.3.3.4

Divide cada término en $- 4 (x^{3} - 9) = 0$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.4.1

Divide cada término en $- 4 (x^{3} - 9) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{3} - 9)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (x^{3} - 9)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.3.3.4.2.1.2

Divide $x^{3} - 9$ por $1$ .

$x^{3} - 9 = \frac{0}{- 4}$

Paso 6.3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.4.3.1

Divide $0$ por $- 4$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Paso 6.3.3.5

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 9$

Paso 6.3.3.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{9}$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{9 - x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$9 - x^{3} < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Resta $9$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{3} < - 9$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- x^{3} < - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término de $- x^{3} < - 9$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{3}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{3}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} > \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x^{3} > 9$

Paso 6.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{9}$

Paso 6.5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x > \sqrt[3]{9}$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \geq \sqrt[3]{9}$

$[\sqrt[3]{9}, \infty)$

$x \geq \sqrt[3]{9}$

$[\sqrt[3]{9}, \infty)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}, \sqrt[3]{9}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{2} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{3 \frac{{\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Combina $3$ y $\frac{{\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4

Reescribe ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ como $450$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{450}$ como $450^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{1}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 (\frac{450}{125}) - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.6.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5 (25)} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5 \cdot 25} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (\frac{450}{25} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.7

Divide $450$ por $25$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (18 - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.8

Resta $72$ de $18$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{450}}^{2}$ como $\sqrt[3]{450^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{450^{2}}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9.2

Eleva $450$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{202500}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9.3

Reescribe $202500$ como $15^{3} \cdot 60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.9.3.1

Factoriza $3375$ de $202500$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{3375 (60)}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9.3.2

Reescribe $3375$ como $15^{3}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{15^{3} \cdot 60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\frac{3 \cdot 15 \sqrt[3]{60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.9.5

Multiplica $3$ por $15$ .

$\frac{\frac{45 \sqrt[3]{60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.10

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{45 \sqrt[3]{60}}{25} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.11

Cancela el factor común de $45$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.11.1

Factoriza $5$ de $45 \sqrt[3]{60}$ .

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{25} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.11.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{5 (5)} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{5 \cdot 5} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ como $450$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{450}$ como $450^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{1}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450}{125})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.4

Cancela el factor común de $450$ y $125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.4.1

Factoriza $25$ de $450$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 (18)}{125})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.4.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.3

Combina $9$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{9 \cdot 5 - 18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.5.1

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{45 - 18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5.2

Resta $18$ de $45$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{27}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{27}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 \frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3

Combina fracciones.

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5}$ y $- 54$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60} \cdot - 54}{5}}{4 \frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.2

Combina $4$ y $\frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60} \cdot - 54}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $- 54$ por $9$ .

$\frac{\frac{- 486 \sqrt[3]{60}}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5}$ al numerador.

$\frac{- 486 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5.2

Factoriza $2$ de $- 486 \sqrt[3]{60}$ .

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5.3

Factoriza $2$ de $4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.6

Multiplica $\frac{- 243 \sqrt[3]{60}}{5}$ por $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{5 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.7

Simplifica la expresión.

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Paso 9.7.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{10 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{10 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) \sqrt{9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2

Reescribe ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ como $450$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{450}$ como $450^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{5^{3}}}$

Paso 11.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{5^{3}}}$

Paso 11.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{125}}$

Paso 11.2.4

Cancela el factor común de $450$ y $125$ .

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Paso 11.2.4.1

Factoriza $25$ de $450$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 (18)}{125}}$

Paso 11.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5}}$

Paso 11.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5}}$

Paso 11.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{18}{5}}$

Paso 11.2.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{18}{5}}$

Paso 11.2.6

Combina $9$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{18}{5}}$

Paso 11.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 5 - 18}{5}}$

Paso 11.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.8.1

Multiplica $9$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{45 - 18}{5}}$

Paso 11.2.8.2

Resta $18$ de $45$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{27}{5}}$

Paso 11.2.9

Reescribe $\sqrt{\frac{27}{5}}$ como $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.10.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.10.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.10.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.11

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot (\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 11.2.12

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.12.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.12.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.12.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 11.2.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 11.2.12.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 11.2.12.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.12.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.12.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.12.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.12.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.12.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.12.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.13.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Paso 11.2.13.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5}$

Paso 11.2.14

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5}$ .

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Paso 11.2.14.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ por $\frac{3 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450} (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 11.2.14.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{450}$ como $450^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (450^{\frac{1}{3}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2.2

Reescribe $450^{\frac{1}{3}}$ como $450^{\frac{2}{6}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (450^{\frac{2}{6}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2.3

Reescribe $450^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{450^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \cdot 15^{\frac{1}{2}})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2.5

Reescribe $15^{\frac{1}{2}}$ como $15^{\frac{3}{6}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \cdot 15^{\frac{3}{6}})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.2.6

Reescribe $15^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{15^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \sqrt[6]{15^{3}})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{450^{2} \cdot 15^{3}}}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.4

Eleva $450$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{202500 \cdot 15^{3}}}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.5

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{202500 \cdot 3375}}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.6

Multiplica $202500$ por $3375$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{683437500}}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.14.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{683437500}}{25}$

Paso 11.2.15

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.15.1

Reescribe $683437500$ como $15^{6} \cdot 60$ .

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Paso 11.2.15.1.1

Factoriza $11390625$ de $683437500$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{11390625 (60)}}{25}$

Paso 11.2.15.1.2

Reescribe $11390625$ como $15^{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{15^{6} \cdot 60}}{25}$

Paso 11.2.15.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \cdot (15 \sqrt[6]{60})}{25}$

Paso 11.2.15.3

Multiplica $3$ por $15$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{45 \sqrt[6]{60}}{25}$

Paso 11.2.16

Cancela el factor común de $45$ y $25$ .

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Paso 11.2.16.1

Factoriza $5$ de $45 \sqrt[6]{60}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{25}$

Paso 11.2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.16.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{5 (5)}$

Paso 11.2.16.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{5 \cdot 5}$

Paso 11.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$

Paso 11.2.17

La respuesta final es $\frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$ .

$y = \frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt[3]{9}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\sqrt[3]{9})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {\sqrt[3]{9}}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ como $9$ .

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Paso 13.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(9^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{3}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{3}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.2.1

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 13.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0}$

Paso 13.2.4.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Paso 13.2.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Paso 13.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Paso 13.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15