Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) - x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\cos (x) - 1$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 1 + \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Paso 2.3

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 8

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 9

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (0)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 0$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 12

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Paso 12.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 1 + \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Paso 12.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Evalúa $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Paso 12.2.2.2

Resta $0.41614683$ de $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Paso 12.2.2.3

La respuesta final es $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Paso 12.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(0, 2 π)$ en la primera derivada $- 1 + \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Paso 12.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.2.1

Evalúa $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Paso 12.3.2.2

Resta $0.98999249$ de $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Paso 12.3.2.3

La respuesta final es $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Paso 12.4

Sustituye cualquier número, como $9$ , del intervalo $(2 π, \infty)$ en la primera derivada $- 1 + \cos (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Paso 12.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.2.1

Evalúa $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Paso 12.4.2.2

Resta $0.91113026$ de $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Paso 12.4.2.3

La respuesta final es $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Paso 12.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 12.6

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = \sin (x) - x$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 13