Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (9 - x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Paso 1.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Multiplica $9 - x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Paso 1.8.2

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Paso 4.1.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.8.1

Multiplica $9 - x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Paso 4.1.8.2

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 9$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 9 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Paso 5.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 9$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 9$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Divide $- 9$ por $- 3$ .

$x^{2} = 3$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \sqrt{3}$

Paso 9

$x = \sqrt{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \sqrt{3}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{3}$ en la expresión.

$f (\sqrt{3}) = (\sqrt{3}) (9 - {(\sqrt{3})}^{2})$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 10.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 10.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 10.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 10.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Paso 10.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Paso 10.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Resta $3$ de $9$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 6$

Paso 10.2.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 (- \sqrt{3})$

Paso 12

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 \sqrt{3}$

Paso 13

$x = - \sqrt{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{3}$ es un mínimo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = (- \sqrt{3}) (9 - {(- \sqrt{3})}^{2})$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Paso 14.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}))$

Paso 14.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2}))$

Paso 14.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 14.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 14.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 14.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 14.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 14.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 14.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 14.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Paso 14.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Paso 14.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Paso 14.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Resta $3$ de $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} \cdot 6$

Paso 14.2.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Paso 14.2.3

La respuesta final es $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Paso 15

Estos son los extremos locales de $f (x) = x (9 - x^{2})$ .

$(\sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ es un máximo local

$(- \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ es un mínimo local

Paso 16