Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.3

Combina $\frac{4}{2}$ y ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.3.6.4.1

Factoriza $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.4.2.4

Divide $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Reordena $x$ y $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 1.4.1.2

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 1.4.1.3

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Paso 1.4.1.4

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 1.4.2.2

Combina $2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Paso 1.4.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Paso 1.4.2.5

Suma $4 x$ y $x$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ y $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5 x}{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.2

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.2.6.1

Suma $\frac{5}{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.6.2

Combina ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ y $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.2.6.3

Mueve $5$ a la izquierda de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 2.4.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 2.4.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Paso 2.4.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 2.4.7

Combina fracciones.

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Paso 2.4.7.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

Paso 2.4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

Paso 2.4.7.3

Combina ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Paso 2.4.7.4

Mueve $3$ a la izquierda de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Paso 2.5

Para escribir $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.6

Combina $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Paso 2.8

Combina $2$ y $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.10

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $2$ de $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.10.2.4

Divide $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Paso 2.11.1.1.2

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Paso 2.11.1.1.3

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Paso 2.11.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Paso 2.11.1.3

Combina $5$ y $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Paso 2.11.1.4

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Paso 2.11.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

Paso 2.11.1.6

Multiplica $3 \frac{5 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.6.1

Combina $3$ y $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Paso 2.11.1.6.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Paso 2.11.1.7

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

Paso 2.11.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

Paso 2.11.1.9

Resta $12$ de $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.10

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.11

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.13

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.14

Suma $5 x$ y $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.15

Cancela el factor común de $20$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.15.1

Factoriza $2$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.15.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.15.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.15.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.15.2.4

Divide $10 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.16

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 8}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.17

Factoriza $2$ de $10 x - 32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.17.1

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

Paso 2.11.1.17.2

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

Paso 2.11.1.17.3

Factoriza $2$ de $2 (5 x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

Paso 2.11.1.18

Combina $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Paso 2.11.1.19

Reduce la expresión $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.19.1

Factoriza $2$ de ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Paso 2.11.1.19.2

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Paso 2.11.1.19.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Paso 2.11.1.19.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Paso 2.11.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

Paso 2.11.3

Factoriza $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ de $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

Paso 2.11.4

Multiplica $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.4.1

Multiplica $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ por $\frac{5 x - 16}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

Paso 2.11.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.3

Combina $\frac{4}{2}$ y ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.4.1

Factoriza $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.6.4.2.4

Divide $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Paso 4.1.3.8

Multiplica ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

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Paso 4.1.4.1.1

Reordena $x$ y $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 4.1.4.1.2

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Paso 4.1.4.1.3

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.1.4

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.2.2

Combina $2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Paso 4.1.4.2.5

Suma $4 x$ y $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Paso 5.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Paso 5.3

Establece ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.1

Establece ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

Paso 5.3.2

Resuelve ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Establece $\frac{x}{2} - 4$ igual a $0$ .

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

Paso 5.3.2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = 4$

Paso 5.3.2.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \cdot 4$

Paso 5.3.2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = 8$

Paso 5.4

Establece $\frac{5 x}{2} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Establece $\frac{5 x}{2} - 4$ igual a $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{5 x}{2} = 4$

Paso 5.4.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

Paso 5.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.2.1.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

Paso 5.4.2.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{8}{5}$

Paso 5.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $5 (8) - 16$ y $4$ .

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $4$ de ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

Paso 9.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

Paso 9.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

Paso 9.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

Paso 9.1.1.2.4

Divide ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ por $1$ .

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Paso 9.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Paso 9.1.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

Paso 9.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$0 (10 - 4)$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Resta $4$ de $10$ .

$0 \cdot 6$

Paso 9.3.2

Multiplica $0$ por $6$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \frac{8}{5})$ en la primera derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Divide $0$ por $2$ .

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Paso 10.2.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Paso 10.2.2.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Paso 10.2.2.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

Paso 10.2.2.5

Divide $0$ por $2$ .

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

Paso 10.2.2.6

Resta $4$ de $0$ .

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

Paso 10.2.2.7

Multiplica $- 64$ por $- 4$ .

$f' (0) = 256$

Paso 10.2.2.8

La respuesta final es $256$ .

$256$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(\frac{8}{5}, 8)$ en la primera derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.4.2

Resta $8$ de $5$ .

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.3.2.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.10

Multiplica $5$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

Paso 10.3.2.11

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

Paso 10.3.2.12

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

Paso 10.3.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 10.3.2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.14.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

Paso 10.3.2.14.2

Resta $8$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

Paso 10.3.2.15

Multiplica $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ .

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Paso 10.3.2.15.1

Multiplica $\frac{17}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Paso 10.3.2.15.2

Multiplica $17$ por $27$ .

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

Paso 10.3.2.15.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

Paso 10.3.2.16

La respuesta final es $- \frac{459}{16}$ .

$- \frac{459}{16}$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $10$ , del intervalo $(8, \infty)$ en la primera derivada ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.4.2.1

Divide $10$ por $2$ .

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Paso 10.4.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Paso 10.4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Paso 10.4.2.4

Multiplica $\frac{5 (10)}{2} - 4$ por $1$ .

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

Paso 10.4.2.5

Multiplica $5$ por $10$ .

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

Paso 10.4.2.6

Divide $50$ por $2$ .

$f' (10) = 25 - 4$

Paso 10.4.2.7

Resta $4$ de $25$ .

$f' (10) = 21$

Paso 10.4.2.8

La respuesta final es $21$ .

$21$

Paso 10.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{8}{5}$ , $x = \frac{8}{5}$ es un máximo local.

$x = \frac{8}{5}$ es un máximo local

Paso 10.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 8$ , $x = 8$ es un mínimo local.

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 10.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x = \frac{8}{5}$ es un máximo local

$x = 8$ es un mínimo local

$x = \frac{8}{5}$ es un máximo local

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 11