Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.9

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.7

Resta $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 1.4.3.8

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.5.1

Reescribe ${(3 x - 2)}^{2}$ como $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2

Expande $(3 x - 2) (3 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.5

Simplifica.

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Paso 1.4.5.5.1

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.5.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.5.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.6

Suma $3 x^{2}$ y $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.7

Resta $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8

Reescribe $48 x^{2} - 64 x + 20$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.5.8.1

Factoriza $4$ de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

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Paso 1.4.5.8.1.1

Factoriza $4$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.1.2

Factoriza $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.1.3

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.1.4

Factoriza $4$ de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.1.5

Factoriza $4$ de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.4.5.8.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 1.4.5.8.2.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 6$ más $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.4.5.8.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.8.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Paso 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{({(3 x - 2)}^{2})}^{2}})$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x - 1$ y $g (x) = 6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (6 x - 5) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + 0) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Suma $6$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \cdot 6 + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 \cdot (2 x - 1) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + 0)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) \cdot 2) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.5.12.2

Mueve $2$ a la izquierda de $6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 \cdot (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.7.2

Factoriza $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

Factoriza $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $3 x - 2$ de $- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $3 x - 2$ de $(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x - 2]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Factoriza $3 x - 2$ de ${(3 x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.12

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.13

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.14.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Paso 2.14.3

Combina $4$ y $\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) + (- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.1.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.1.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.1.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.2

Suma $12 x$ y $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 6 - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.3

Resta $10$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.4

Expande $(3 x - 2) (24 x - 16)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x - 16) - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x^{2}) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.4

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.5

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.5.2

Resta $48 x$ de $- 48 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 96 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.7.1

Multiplica $72$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.7.2

Multiplica $- 96$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.7.3

Multiplica $4$ por $32$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.8.1

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.8.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x + 6) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.9

Expande $(- 12 x + 6) (6 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x - 5) + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.15.5.1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.15.5.1.10.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x \cdot x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.5.1.10.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x^{2}) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.3

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.5

Multiplica $6$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.1.6

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.10.2

Suma $60 x$ y $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 96 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.12

Simplifica.

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Paso 2.15.5.1.12.1

Multiplica $- 72$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.12.2

Multiplica $96$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.1.12.3

Multiplica $4$ por $- 30$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.2

Combina los términos opuestos en $288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120$ .

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Paso 2.15.5.2.1

Resta $288 x^{2}$ de $288 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 0 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.2.2

Suma $- 384 x + 128$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.2.3

Suma $- 384 x$ y $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.2.4

Suma $0$ y $128$ .

$f'' (x) = \frac{128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 2.15.5.3

Resta $120$ de $128$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.9

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.7

Resta $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Paso 4.1.4.3.8

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.4.5.1

Reescribe ${(3 x - 2)}^{2}$ como $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.2

Expande $(3 x - 2) (3 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.4.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.4.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.3.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.5

Simplifica.

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Paso 4.1.4.5.5.1

Multiplica $9$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.5.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.5.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.6

Suma $3 x^{2}$ y $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.7

Resta $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8

Reescribe $48 x^{2} - 64 x + 20$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.4.5.8.1

Factoriza $4$ de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

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Paso 4.1.4.5.8.1.1

Factoriza $4$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.1.2

Factoriza $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.1.3

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.1.4

Factoriza $4$ de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.1.5

Factoriza $4$ de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.4.5.8.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 4.1.4.5.8.2.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 6$ más $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.4.5.8.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.4.5.8.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$6 x - 5 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 5.3.2.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 5.3.2.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3

Establece $6 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $6 x - 5$ igual a $0$ .

$6 x - 5 = 0$

Paso 5.3.3.2

Resuelve $6 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 5$

Paso 5.3.3.2.2

Divide cada término en $6 x = 5$ por $6$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.2.2.1

Divide cada término en $6 x = 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Paso 5.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 6.2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 6.2.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 6.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 6.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{1}{2}) - 2)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{{(\frac{3 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{3 - 4}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{8}{{(\frac{- 1}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.7

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 9.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Paso 9.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Paso 9.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{- \frac{1}{8}}$

Paso 9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 (- 1 \cdot 8)$

Paso 9.3

Multiplica $8 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$8 \cdot - 8$

Paso 9.3.2

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$- 64$

Paso 10

$x = \frac{1}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1}{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 4}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.7

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 11.2.2

Combina fracciones.

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Paso 11.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 5}{2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.2.1

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{2}$

Paso 11.2.2.2.2

Divide $4$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{5}{6}) - 2)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 (2)} - 2)}^{3}}$

Paso 13.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 \cdot 2} - 2)}^{3}}$

Paso 13.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2)}^{3}}$

Paso 13.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{{(\frac{5 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{5 - 4}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.5.2

Resta $4$ de $5$ .

$\frac{8}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Paso 13.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Paso 13.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{\frac{1}{2^{3}}}$

Paso 13.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{\frac{1}{8}}$

Paso 13.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 \cdot 8$

Paso 13.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$64$

Paso 14

$x = \frac{5}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5}{6}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5}{6}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 (2)}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 \cdot 2}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 4}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.2.5.2

Resta $4$ de $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{1}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{36} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 (18)} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 \cdot 18} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + 5 (\frac{5}{6})$

Paso 15.2.1.5

Multiplica $5 (\frac{5}{6})$ .

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Paso 15.2.1.5.1

Combina $5$ y $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{5 \cdot 5}{6}$

Paso 15.2.1.5.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6}$

Paso 15.2.2

Para escribir $\frac{25}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{25}{6}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{6 \cdot 3}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{18}$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 25 \cdot 3}{18}$

Paso 15.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.1

Multiplica $25$ por $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 75}{18}$

Paso 15.2.5.2

Suma $25$ y $75$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{100}{18}$

Paso 15.2.6

Cancela el factor común de $100$ y $18$ .

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Paso 15.2.6.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 (50)}{18}$

Paso 15.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Paso 15.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Paso 15.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{50}{9}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $\frac{50}{9}$ .

$y = \frac{50}{9}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ .

$(\frac{1}{2}, 2)$ es un máximo local

$(\frac{5}{6}, \frac{50}{9})$ es un mínimo local

Paso 17