Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.6

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.7

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.9

Suma $1$ y $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.10

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

Paso 1.11

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.11.1

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.11.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

Paso 1.11.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

Paso 1.11.2

Suma $3$ y $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Paso 1.12

Reordena los términos.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos^{2} (x)$ y $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.1

Mueve $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.7.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos^{3} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.10

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.10.1

Mueve $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.10.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.2.10.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2.4.2.3

Resta $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ de $- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{4} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Paso 4.3

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 6

Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $\cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.7

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

Establece $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ igual a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Reemplaza $- 3 \sin^{2} (x)$ con $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2.3

Suma $3 \cos^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 7.2.4

Reordena el polinomio.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Paso 7.2.5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Paso 7.2.6

Divide cada término en $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.1

Divide cada término en $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 7.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 7.2.6.2.1.2

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 7.2.7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 7.2.8

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.8.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 7.2.8.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.8.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 7.2.8.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.9.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.10

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 7.2.11

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.11.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7.2.11.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.11.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 7.2.11.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.11.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.11.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.11.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.11.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.11.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.2.11.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.11.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 7.2.11.4.3.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 7.2.11.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Paso 7.2.12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.12.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 7.2.12.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.12.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.12.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.12.4

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.12.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.12.4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.12.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.12.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Paso 7.2.12.4.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.12.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Paso 7.2.12.4.3.2

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 7.2.12.5

La solución a la ecuación $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 7.2.13

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.9

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 + 6 \cdot 0$

Paso 10.1.10

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 10.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 11

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

Paso 11.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

Paso 11.2.2.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

Paso 11.2.2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 11.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 11.2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 11.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.2.1.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.2

Eleva $0.5403023$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.29192658$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.4

Evalúa $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.5

Eleva $0.84147098$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.6

Multiplica $- 0.87577974$ por $0.70807341$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

Paso 11.3.2.1.7

Evalúa $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

Paso 11.3.2.1.8

Eleva $0.5403023$ a la potencia de $4$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

Paso 11.3.2.2

Suma $- 0.62011635$ y $0.08522112$ .

$f' (1) = - 0.53489522$

Paso 11.3.2.3

La respuesta final es $- 0.53489522$ .

$- 0.53489522$

Paso 11.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.2.1.1

Evalúa $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.2

Eleva $- 0.41614683$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.17317818$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.4

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.5

Eleva $0.90929742$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.6

Multiplica $- 0.51953456$ por $0.82682181$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

Paso 11.4.2.1.7

Evalúa $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

Paso 11.4.2.1.8

Eleva $- 0.41614683$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

Paso 11.4.2.2

Suma $- 0.42956251$ y $0.02999068$ .

$f' (2) = - 0.39957182$

Paso 11.4.2.3

La respuesta final es $- 0.39957182$ .

$- 0.39957182$

Paso 11.5

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.2.1.1

Evalúa $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.2

Eleva $- 0.98999249$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.98008514$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.4

Evalúa $\sin (3)$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.5

Eleva $0.14112$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.6

Multiplica $- 2.94025542$ por $0.01991485$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

Paso 11.5.2.1.7

Evalúa $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

Paso 11.5.2.1.8

Eleva $- 0.98999249$ a la potencia de $4$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

Paso 11.5.2.2

Suma $- 0.05855476$ y $0.96056688$ .

$f' (3) = 0.90201212$

Paso 11.5.2.3

La respuesta final es $0.90201212$ .

$0.90201212$

Paso 11.6

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.6.2.1.1

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.2

Eleva $- 0.65364362$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.42724998$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.4

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.5

Eleva $- 0.75680249$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.6

Multiplica $- 1.28174994$ por $0.57275001$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

Paso 11.6.2.1.7

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

Paso 11.6.2.1.8

Eleva $- 0.65364362$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

Paso 11.6.2.2

Suma $- 0.7341223$ y $0.18254254$ .

$f' (4) = - 0.55157975$

Paso 11.6.2.3

La respuesta final es $- 0.55157975$ .

$- 0.55157975$

Paso 11.7

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.7.2.1.1

Evalúa $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.2

Eleva $0.28366218$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.08046423$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.4

Evalúa $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.5

Eleva $- 0.95892427$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.6

Multiplica $- 0.2413927$ por $0.91953576$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

Paso 11.7.2.1.7

Evalúa $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

Paso 11.7.2.1.8

Eleva $0.28366218$ a la potencia de $4$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

Paso 11.7.2.2

Suma $- 0.22196922$ y $0.00647449$ .

$f' (5) = - 0.21549473$

Paso 11.7.2.3

La respuesta final es $- 0.21549473$ .

$- 0.21549473$

Paso 11.8

Sustituye cualquier número, como $8$ , del intervalo $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ en la primera derivada $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.1.1

Evalúa $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.2

Eleva $- 0.14550003$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0.02117025$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.4

Evalúa $\sin (8)$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.5

Eleva $0.98935824$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.6

Multiplica $- 0.06351077$ por $0.97882974$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

Paso 11.8.2.1.7

Evalúa $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

Paso 11.8.2.1.8

Eleva $- 0.14550003$ a la potencia de $4$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

Paso 11.8.2.2

Suma $- 0.06216623$ y $0.00044817$ .

$f' (8) = - 0.06171805$

Paso 11.8.2.3

La respuesta final es $- 0.06171805$ .

$- 0.06171805$

Paso 11.9

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{π}{6}$ , $x = \frac{π}{6}$ es un máximo local.

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 11.10

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = \frac{π}{2}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 11.11

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{5 π}{6}$ , $x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local.

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 11.12

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{7 π}{6}$ , $x = \frac{7 π}{6}$ es un máximo local.

$x = \frac{7 π}{6}$ es un máximo local

Paso 11.13

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = \frac{3 π}{2}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 11.14

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$x = \frac{7 π}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$x = \frac{7 π}{6}$ es un máximo local

Paso 12