Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x) - x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Paso 1.4.2

Reordena $- 1$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Paso 1.4.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\tan^{2} (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Paso 2.3

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\tan^{2} (x) = 0$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\tan (x) = \pm 0$

Paso 5.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\tan (x) = 0$

Paso 6

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 9

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 10

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Paso 12.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \tan (0)$

Paso 12.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 \cdot 0$

Paso 12.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$

Paso 13

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 14