Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (4 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6