Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Paso 1.2.2

Reordena los factores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \cos (x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $\cos (x^{2})$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $\cos (x^{2})$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x^{2})$ igual a $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x^{2}) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Sustituye $u$ por $x^{2}$ .

$\cos (u) = 0$

Paso 6.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $u$ del interior del coseno.

$u = \arccos (0)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.5.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.5.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.5.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.6

La solución a la ecuación $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.7

Sustituye $x^{2}$ por $u$ y resuelve $x^{2} = \frac{π}{2}$

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Paso 6.2.7.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Paso 6.2.7.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

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Paso 6.2.7.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.7.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.7.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.7.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.7.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.7.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 6.2.7.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.2.7.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.2.7.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.2.7.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.2.7.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.2.7.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.7.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.7.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.7.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 6.2.7.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.7.2.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Paso 6.2.7.2.5

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Paso 6.2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Paso 6.2.7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Paso 6.2.7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Paso 6.2.8

Sustituye $x^{2}$ por $u$ y resuelve $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

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Paso 6.2.8.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Paso 6.2.8.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Paso 6.2.8.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.8.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2.8.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.8.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.8.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 6.2.8.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 6.2.8.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.2.8.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.2.8.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.2.8.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.2.8.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.2.8.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.8.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.8.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.2.8.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 6.2.8.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.2.8.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.8.2.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Paso 6.2.8.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 6.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 6.2.8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 6.2.8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x \cos (x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9.1.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Paso 9.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Paso 9.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 9.1.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 9.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Paso 11.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

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Paso 13.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.2.5

Simplifica.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

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Paso 13.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.7.5

Simplifica.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.9

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 13.1.9.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.13

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 13.1.14

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.15.4.1

Cancela el factor común.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15.4.2

Reescribe la expresión.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Paso 13.1.15.5

Simplifica.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 13.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Paso 13.1.17

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.17.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Paso 13.1.17.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.17.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Paso 13.1.17.2.2

Cancela el factor común.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Paso 13.1.17.2.3

Reescribe la expresión.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 13.1.18

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 13.1.19

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Paso 13.1.20

Multiplica $2$ por $0$ .

$6 π + 0$

Paso 13.2

Suma $6 π$ y $0$ .

$6 π$

Paso 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 15.2.2

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Paso 15.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Paso 15.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 15.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 15.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 15.2.2.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 15.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Paso 15.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.4.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Paso 15.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Paso 15.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Paso 15.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 15.2.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 15.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Paso 15.2.8

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.4.5

Simplifica.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.6.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.6.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.7

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.10

Multiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.11.5

Simplifica.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.13

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.13.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.13.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.13.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.13.2.2

Cancela el factor común.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.15

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.17

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.18

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.18.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 17.1.18.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 17.1.19

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 17.1.20

Multiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.21.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.21.4.1

Cancela el factor común.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21.4.2

Reescribe la expresión.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Paso 17.1.21.5

Simplifica.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 17.1.22

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Paso 17.1.23

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.23.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Paso 17.1.23.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.23.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Paso 17.1.23.2.2

Cancela el factor común.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Paso 17.1.23.2.3

Reescribe la expresión.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.24

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 17.1.25

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Paso 17.1.26

Multiplica $2$ por $0$ .

$6 π + 0$

Paso 17.2

Suma $6 π$ y $0$ .

$6 π$

Paso 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Paso 19.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Paso 19.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Paso 19.2.2.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Paso 19.2.3

Reescribe ${\sqrt{6 π}}^{2}$ como $6 π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 π}$ como ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Paso 19.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Paso 19.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 19.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Paso 19.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 19.2.3.5

Simplifica.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Paso 19.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Paso 19.2.5

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.5.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Paso 19.2.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Paso 19.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Paso 19.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 19.2.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 19.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Paso 19.2.9

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ es un mínimo local

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ es un mínimo local

Paso 21