Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sec (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Paso 1.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (2 x)$ y $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.4

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.6.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.6.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.7.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.8

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.9

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.11

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Paso 2.12

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.14.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Paso 2.15.2

Combina los términos.

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Paso 2.15.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Paso 2.15.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Paso 2.15.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

$\tan (2 x) = 0$

Paso 5

Establece $\sec (2 x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\sec (2 x)$ igual a $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Paso 5.2

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 6

Establece $\tan (2 x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\tan (2 x)$ igual a $0$ .

$\tan (2 x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\tan (2 x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$2 x = \arctan (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Paso 6.2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 6.2.4

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = π + 0$

Paso 6.2.5

Resuelve $x$

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Paso 6.2.5.1

Suma $π$ y $0$ .

$2 x = π$

Paso 6.2.5.2

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.5.2.1

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6

La solución a la ecuación $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{π}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \tan^{2} (2 (0)) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \tan^{2} (0) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.6

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Paso 9.1.8

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Paso 9.1.9

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Paso 9.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 4 \cdot 1$

Paso 9.1.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Paso 9.2

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sec (2 (0))$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \sec (0)$

Paso 11.2.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \tan^{2} (2 (\frac{π}{2})) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \tan^{2} (2 \frac{π}{2}) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 \tan^{2} (π) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.6

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.7.1

Cancela el factor común.

$0 \sec (2 \frac{π}{2}) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.7.2

Reescribe la expresión.

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.9

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.10

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 13.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.10.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 13.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.11.1

Cancela el factor común.

$0 + 4 \sec^{3} (2 \frac{π}{2})$

Paso 13.1.11.2

Reescribe la expresión.

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Paso 13.1.12

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Paso 13.1.13

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Paso 13.1.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Paso 13.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Paso 13.1.16

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 4$

Paso 13.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 14

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Paso 15.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (π)$

Paso 15.2.2

$f (\frac{π}{2}) = - \sec (0)$

Paso 15.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 15.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Paso 15.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sec (2 x)$ .

$(0, 1)$ es un mínimo local

$(\frac{π}{2}, - 1)$ es un máximo local

Paso 17