Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{x (85 - x)}{60}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{60}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (85 - x)}{60}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 85 - x$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [85 - x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $85 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x (\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Como $85$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $85$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{60} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [- x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{60} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (x (- 1 \cdot 1) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{60} (x \cdot - 1 + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{60} (- 1 \cdot x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \cdot 1)$

Paso 1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $85 - x$ por $1$ .

$\frac{1}{60} (- x + 85 - x)$

Paso 1.3.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{60} (- 2 x + 85)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{60} (- 2 x) + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{60}$ .

$\frac{- 2}{60} x + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.2

Combina $\frac{- 2}{60}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $60$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (30)} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 1.4.2.5

Combina $\frac{1}{60}$ y $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{85}{60}$

Paso 1.4.2.6

Cancela el factor común de $85$ y $60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.6.1

Factoriza $5$ de $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 (17)}{60}$

Paso 1.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $60$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Paso 1.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Paso 1.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{12}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{30}) + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- \frac{1}{30}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{30}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{30} \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $\frac{17}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{17}{12}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- \frac{1}{30}$ y $0$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $\frac{1}{60}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (85 - x)}{60}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 85 - x$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [85 - x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $85 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x (\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.2

Como $85$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $85$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{60} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [- x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{60} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (x (- 1 \cdot 1) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{60} (x \cdot - 1 + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{60} (- 1 \cdot x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.6.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \cdot 1)$

Paso 4.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1.3.8.1

Multiplica $85 - x$ por $1$ .

$\frac{1}{60} (- x + 85 - x)$

Paso 4.1.3.8.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{60} (- 2 x + 85)$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{60} (- 2 x) + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{60}$ .

$\frac{- 2}{60} x + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.2

Combina $\frac{- 2}{60}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $60$ .

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Paso 4.1.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $60$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (30)} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Paso 4.1.4.2.5

Combina $\frac{1}{60}$ y $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{85}{60}$

Paso 4.1.4.2.6

Cancela el factor común de $85$ y $60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.6.1

Factoriza $5$ de $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 (17)}{60}$

Paso 4.1.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $60$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Paso 4.1.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Paso 4.1.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Paso 4.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$

Paso 5.2

Resta $\frac{17}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{30} = - \frac{17}{12}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 30$ .

$- 30 (- \frac{x}{30}) = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Simplifica $- 30 (- \frac{x}{30})$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 5.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{30}$ al numerador.

$- 30 \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.1.1.1.2

Factoriza $30$ de $- 30$ .

$30 (- 1) \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$30 \cdot - 1 \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica.

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Paso 5.4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $- 30 (- \frac{17}{12})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{17}{12}$ al numerador.

$x = - 30 (\frac{- 17}{12})$

Paso 5.4.2.1.1.2

Factoriza $6$ de $- 30$ .

$x = 6 (- 5) \frac{- 17}{12}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Factoriza $6$ de $12$ .

$x = 6 \cdot - 5 \frac{- 17}{6 \cdot 2}$

Paso 5.4.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$x = 6 \cdot - 5 \frac{- 17}{6 \cdot 2}$

Paso 5.4.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$x = - 5 (\frac{- 17}{2})$

Paso 5.4.2.1.2

Combina $- 5$ y $\frac{- 17}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot - 17}{2}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 17$ .

$x = \frac{85}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{85}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{85}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{30}$

Paso 9

$x = \frac{85}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{85}{2}$ es un máximo local

Paso 10

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{85}{2}$ .

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{85}{2}$ en la expresión.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{(\frac{85}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))}{60}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $85 - (\frac{85}{2})$ y $60$ .

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Paso 10.2.1.1

Factoriza $5$ de $(\frac{85}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{60}$

Paso 10.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.1.2.1

Factoriza $5$ de $60$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{5 (12)}$

Paso 10.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{5 \cdot 12}$

Paso 10.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{(\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))}{12}$

Paso 10.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.1

Para escribir $85$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot (85 \cdot \frac{2}{2} - \frac{85}{2})}{12}$

Paso 10.2.2.2

Combina $85$ y $\frac{2}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot (\frac{85 \cdot 2}{2} - \frac{85}{2})}{12}$

Paso 10.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{85 \cdot 2 - 85}{2}}{12}$

Paso 10.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.4.1

Multiplica $85$ por $2$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{170 - 85}{2}}{12}$

Paso 10.2.2.4.2

Resta $85$ de $170$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{85}{2}}{12}$

Paso 10.2.3

Combina fracciones.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $\frac{17}{2}$ por $\frac{85}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17 \cdot 85}{2 \cdot 2}}{12}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica.

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Paso 10.2.3.2.1

Multiplica $17$ por $85$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{1445}{2 \cdot 2}}{12}$

Paso 10.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{1445}{4}}{12}$

Paso 10.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{4} \cdot \frac{1}{12}$

Paso 10.2.5

Multiplica $\frac{1445}{4} \cdot \frac{1}{12}$ .

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Paso 10.2.5.1

Multiplica $\frac{1445}{4}$ por $\frac{1}{12}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{4 \cdot 12}$

Paso 10.2.5.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{48}$

Paso 10.2.6

La respuesta final es $\frac{1445}{48}$ .

$y = \frac{1445}{48}$

Paso 11

Estos son los extremos locales de $g (x) = \frac{x (85 - x)}{60}$ .

$(\frac{85}{2}, \frac{1445}{48})$ es un máximo local

Paso 12