Cálculo Ejemplos

$F (x) = x + 4 \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$1 + 4 (- \sin (x))$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$1 - 4 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$F'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \cos (x)$

Paso 2.3

Resta $4 \cos (x)$ de $0$ .

$F'' (x) = - 4 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - 4 \sin (x) = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sin (x) = - 1$

Paso 5

Divide cada término en $- 4 \sin (x) = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 4 \sin (x) = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Paso 9.3

Resta $0.25268025$ de $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Paso 10

La solución a la ecuación $x = 0.25268025$ .

$x = 0.25268025, 2.88891239$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.25268025$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 \cos (0.25268025)$

Paso 12

$x = 0.25268025$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0.25268025$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = 0.25268025$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.25268025$ en la expresión.

$F (0.25268025) = (0.25268025) + 4 \cos (0.25268025)$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Suma $0.25268025$ y $4 \cos (0.25268025)$ .

$F (0.25268025) = 4.1256636$

Paso 13.2.2

La respuesta final es $4.1256636$ .

$y = 4.1256636$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = 2.88891239$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 \cos (2.88891239)$

Paso 15

$x = 2.88891239$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2.88891239$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 2.88891239$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.88891239$ en la expresión.

$F (2.88891239) = (2.88891239) + 4 \cos (2.88891239)$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Suma $2.88891239$ y $4 \cos (2.88891239)$ .

$F (2.88891239) = - 0.98407094$

Paso 16.2.2

La respuesta final es $- 0.98407094$ .

$y = - 0.98407094$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $F (x) = x + 4 \cos (x)$ .

$(0.25268025, 4.1256636)$ es un máximo local

$(2.88891239, - 0.98407094)$ es un mínimo local

Paso 18