Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 1.2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Paso 1.2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Paso 1.2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 9}$ y $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Paso 1.2.10

Cancela el factor común de $3$ y $3 x - 9$ .

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Paso 1.2.10.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Paso 1.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Paso 1.2.10.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Paso 1.2.10.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 1.2.10.2.4

Cancela el factor común.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 1.2.10.2.5

Reescribe la expresión.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Paso 1.2.11

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Paso 1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Paso 1.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Paso 1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Paso 1.3.3

Resta $5$ de $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 8$ y $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 3 - x - - 8$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Suma $- 3$ y $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \ln (3 x - 9)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 4.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 4.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 4.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Paso 4.1.2.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Paso 4.1.2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Paso 4.1.2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 9}$ y $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Paso 4.1.2.10

Cancela el factor común de $3$ y $3 x - 9$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Paso 4.1.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Paso 4.1.2.10.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Paso 4.1.2.10.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 4.1.2.10.2.4

Cancela el factor común.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Paso 4.1.2.10.2.5

Reescribe la expresión.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Paso 4.1.2.11

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Paso 4.1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Paso 4.1.3

Combina los términos.

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Paso 4.1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Paso 4.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Paso 4.1.3.3

Resta $5$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 8 = 0$

Paso 5.3

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x - 8}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 8$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Paso 9.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{25}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5}$

Paso 10

$x = 8$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 8$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Paso 11.2.1.2

Resta $9$ de $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Paso 11.2.1.3

Simplifica $- 5 \ln (15)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Paso 11.2.1.4

Eleva $15$ a la potencia de $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ es un mínimo local

Paso 13