Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - b \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - b \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Paso 1.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{b}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{b}{x}$ con respecto a $x$ es $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Paso 2.2.5

Multiplica $b$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina $b$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - b \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- b \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Paso 4.1.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{b}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{b}{x} = - 1$ por $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{b}{x}$ al numerador.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- b = - x$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- x = - b$ .

$- x = - b$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- x = - b$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- x = - b$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{b}{1}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $b$ por $1$ .

$x = b$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{b}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$b = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = b$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = b$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Paso 9

Cancela el factor común de $b$ y ${(b)}^{2}$ .

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Paso 9.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Paso 9.2

Factoriza $b$ de $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Paso 9.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Factoriza $b$ de ${(b)}^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{b}$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11