Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Paso 1.2.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Paso 1.2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2.9

Combina $- 6$ y $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Suma $2 x - 12$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2.5

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.5

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.2

Suma $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.4

Suma $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Suma $- 12 x^{2}$ y $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 12$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4.1.2

Factoriza $12$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4.1.3

Factoriza $12$ de $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Paso 4.1.2.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Paso 4.1.2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.9

Combina $- 6$ y $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Paso 4.1.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 12$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.3

Resta $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.4

Reescribe $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Paso 5.3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.3

Resta $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.4

Reescribe $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

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Paso 5.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Paso 5.3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.3

Resta $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.4

Reescribe $140$ como $2^{2} \cdot 35$ .

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Paso 5.3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Paso 5.3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Paso 5.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 6 + \sqrt{35}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 9.1.2

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Reescribe ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ como $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Expande $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.1.4

Multiplica $35$ por $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.1.5

Reescribe $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.2

Suma $36$ y $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.3.3

Suma $6 \sqrt{35}$ y $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.4

Suma $71$ y $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.3

Agrupa $5 + \sqrt{35}$ y $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.4

Expande $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.5.1.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.1.4

Multiplica $35$ por $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.1.5

Reescribe $1225$ como $35^{2}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.2

Suma $35$ y $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.5.3

Suma $5 \sqrt{35}$ y $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 9.6

Reescribe ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ como $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Paso 9.7

Expande $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Paso 9.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Paso 9.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Paso 9.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.8.1.1

Multiplica $72$ por $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Paso 9.8.1.2

Multiplica $12$ por $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Paso 9.8.1.3

Multiplica $72$ por $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Paso 9.8.1.4

Multiplica $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

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Paso 9.8.1.4.1

Multiplica $12$ por $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Paso 9.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Paso 9.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Paso 9.8.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Paso 9.8.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Paso 9.8.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Paso 9.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.8.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.8.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.8.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.8.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.8.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Paso 9.8.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Paso 9.8.1.6

Multiplica $144$ por $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Paso 9.8.2

Suma $5184$ y $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Paso 9.8.3

Suma $864 \sqrt{35}$ y $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Paso 9.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.9.1

Factoriza $12$ de $10224$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Paso 9.9.2

Factoriza $12$ de $1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Paso 9.9.3

Factoriza $12$ de $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Paso 9.9.4

Cancela el factor común.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Paso 9.9.5

Reescribe la expresión.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Paso 9.10

Cancela el factor común de $70 + 12 \sqrt{35}$ y $852 + 144 \sqrt{35}$ .

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Paso 9.10.1

Factoriza $2$ de $70$ .

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Paso 9.10.2

Factoriza $2$ de $12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Paso 9.10.3

Factoriza $2$ de $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Paso 9.10.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.10.4.1

Factoriza $2$ de $852$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Paso 9.10.4.2

Factoriza $2$ de $144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Paso 9.10.4.3

Factoriza $2$ de $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Paso 9.10.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Paso 9.10.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Paso 9.11

Multiplica $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Paso 9.12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.12.1

Multiplica $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Paso 9.12.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Paso 9.12.3

Simplifica.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Paso 9.12.4

Cancela el factor común de $426 - 72 \sqrt{35}$ y $36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.12.4.1

Factoriza $6$ de $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Paso 9.12.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.12.4.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Paso 9.12.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Paso 9.12.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.13

Expande $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 9.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.14

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.14.1.1

Multiplica $35$ por $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.14.1.2

Multiplica $- 12$ por $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.14.1.3

Multiplica $71$ por $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.14.1.4

Multiplica $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.14.1.4.1

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Paso 9.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Paso 9.14.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 9.14.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Paso 9.14.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 9.14.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 9.14.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.14.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.14.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.14.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Paso 9.14.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Paso 9.14.1.6

Multiplica $- 72$ por $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Paso 9.14.2

Resta $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Paso 9.14.3

Suma $- 420 \sqrt{35}$ y $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 9.15

Reescribe $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 9.16

Factoriza $- 1$ de $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.17

Factoriza $- 1$ de $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Paso 9.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 6 + \sqrt{35}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 6 + \sqrt{35}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $6 + \sqrt{35}$ en la expresión.

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 6 - \sqrt{35}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 13.1.2

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Reescribe ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ como $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.2

Expande $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{35}$ por $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Suma $36$ y $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.3.3

Resta $6 \sqrt{35}$ de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Paso 13.2.4

Suma $71$ y $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.3

Agrupa $5 - \sqrt{35}$ y $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.4

Expande $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4

Multiplica $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4.2

Multiplica $\sqrt{35}$ por $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4.4

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.2

Suma $35$ y $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.5.3

Resta $7 \sqrt{35}$ de $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Paso 13.6

Reescribe ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ como $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.7

Expande $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 13.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.8

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.8.1.1

Multiplica $72$ por $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.8.1.2

Multiplica $- 12$ por $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.8.1.3

Multiplica $72$ por $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Paso 13.8.1.4

Multiplica $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.8.1.4.1

Multiplica $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Paso 13.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Paso 13.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Paso 13.8.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Paso 13.8.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Paso 13.8.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.8.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.8.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.8.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.8.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.8.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Paso 13.8.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Paso 13.8.1.6

Multiplica $144$ por $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Paso 13.8.2

Suma $5184$ y $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Paso 13.8.3

Resta $864 \sqrt{35}$ de $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Paso 13.9

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.9.1

Factoriza $12$ de $10224$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Paso 13.9.2

Factoriza $12$ de $- 1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Paso 13.9.3

Factoriza $12$ de $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Paso 13.9.4

Cancela el factor común.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Paso 13.9.5

Reescribe la expresión.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Paso 13.10

Cancela el factor común de $70 - 12 \sqrt{35}$ y $852 - 144 \sqrt{35}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.10.1

Factoriza $2$ de $70$ .

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Paso 13.10.2

Factoriza $2$ de $- 12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Paso 13.10.3

Factoriza $2$ de $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Paso 13.10.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.10.4.1

Factoriza $2$ de $852$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Paso 13.10.4.2

Factoriza $2$ de $- 144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Paso 13.10.4.3

Factoriza $2$ de $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Paso 13.10.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Paso 13.10.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Paso 13.11

Multiplica $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Paso 13.12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.12.1

Multiplica $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ por $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Paso 13.12.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Paso 13.12.3

Simplifica.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Paso 13.12.4

Cancela el factor común de $426 + 72 \sqrt{35}$ y $36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.12.4.1

Factoriza $6$ de $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Paso 13.12.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.12.4.2.1

Factoriza $6$ de $36$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Paso 13.12.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Paso 13.12.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.13

Expande $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.14

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.14.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.14.1.1

Multiplica $35$ por $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.14.1.2

Multiplica $12$ por $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.14.1.3

Multiplica $71$ por $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.14.1.4

Multiplica $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.14.1.4.1

Multiplica $12$ por $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Paso 13.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Paso 13.14.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 13.14.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Paso 13.14.1.5

Reescribe ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Paso 13.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 13.14.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 13.14.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 13.14.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.14.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 13.14.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Paso 13.14.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Paso 13.14.1.6

Multiplica $- 72$ por $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Paso 13.14.2

Resta $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Paso 13.14.3

Resta $426 \sqrt{35}$ de $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 13.15

Reescribe $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 13.16

Factoriza $- 1$ de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.17

Factoriza $- 1$ de $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Paso 13.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Paso 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 6 - \sqrt{35}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 6 - \sqrt{35}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $6 - \sqrt{35}$ en la expresión.

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ es un mínimo local

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ es un máximo local

Paso 17