Cálculo Ejemplos

$f (x) = x y + y - 11 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y - 11 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 1.2.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 1.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$y + 0 - 11$

Paso 1.5

Suma $y$ y $0$ .

$y - 11$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Paso 2.3

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0$

Paso 2.4

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (x) = 0$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$y - 11 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y - 11 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 4.1.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$y + 0 - 11$

Paso 4.1.5

Suma $y$ y $0$ .

$f' (x) = y - 11$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $y - 11$ .

$y - 11$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $y - 11 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$y - 11 = 0$

Paso 5.2

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 11$

Paso 6

Puntos críticos para evaluar.

$x = 11$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $x = 11$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$0$

Paso 8

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 9