Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Resta $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Paso 1.4.2

Suma $x \cos (x)$ y $0$ .

$x \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Paso 2.3.2.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x \cos (x) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x \cos (x) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Paso 9.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 + \cos (0)$

Paso 9.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 1$

Paso 9.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Paso 11.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 13.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 13.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Paso 13.2

Suma $- \frac{π}{2}$ y $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Paso 14

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 15.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Paso 15.2.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.4

Multiplica $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 17.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.4.2

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 17.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Paso 17.2

Suma $\frac{3 π}{2}$ y $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 18

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.4

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 19.2.1.4.1

Combina $\frac{3 π}{2}$ y $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 19.2.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 19.2.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Paso 19.2.2

Suma $- \frac{3 π}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ es un mínimo local

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ es un mínimo local

Paso 21