Cálculo Ejemplos

$h (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Paso 1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.12.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2

Combina los términos.

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Paso 1.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.13.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.13.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.4

Reescribe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.13.2.5

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2.6

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2.9

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.9

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Paso 2.3.13.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.13.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.3.18

Multiplica $2$ por $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2

$f' (x) = (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 4.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 4.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Paso 4.1.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.12.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.13.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.13.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.4

Reescribe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.13.2.5

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.13.2.6

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.13.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.13.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.13.2.9

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 5.2.2

Since $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 5.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 5.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.2.8

El MCM para $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x^{\frac{1 + 1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.3.5

Divide $2$ por $2$ .

$3 x^{1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica $3 x^{1}$ .

$3 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.5

Cancela el factor común de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$3 x - 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 x - 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Paso 6.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Paso 9.1.4.1

Combina $3$ y $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.4.2.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.1.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.4.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.1.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.1.6

Combina $4$ y $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + 1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 9.1.8

Multiplica $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 9.2

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} + 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 9.2.2

Suma $3^{\frac{3}{2}}$ y $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Paso 9.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Paso 9.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 10

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{- 2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.7

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 11.2.8

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 11.2.9

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 11.2.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.10.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.10.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.10.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 11.2.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 11.2.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 11.2.10.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 11.2.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 11.2.10.6.5

Evalúa el exponente.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 11.2.11

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 11.2.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 11.2.11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

Paso 11.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 11.2.13

La respuesta final es $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{1}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{4 \cdot 0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3}{0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15