Cálculo Ejemplos

$g (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Paso 1.2.3

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\cos (x + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$g'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{2}$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Paso 2.2.3

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π - π}{2}$

Paso 6.3

Resta $π$ de $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 6.4

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 7

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.1.2

Combina fracciones.

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Paso 8.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 8.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Paso 8.2.3

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 8.2.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Paso 9

La solución a la ecuación $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Suma $0$ y $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Paso 11.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 11.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 12

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$g (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Suma $0$ y $\frac{π}{2}$ .

$g (0) = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 13.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$g (0) = 1$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 15.2

Combina fracciones.

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Paso 15.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Paso 15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Paso 15.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 15.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 15.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.6

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Paso 15.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Paso 16

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

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Paso 17.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$g (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

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Paso 17.2.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$g (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 17.2.2

Combina fracciones.

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Paso 17.2.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$g (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Paso 17.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Paso 17.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 17.2.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$g (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Paso 17.2.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$g (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.2.4

$g (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 17.2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$g (π) = - 1 \cdot 1$

Paso 17.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$g (π) = - 1$

Paso 17.2.7

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 18

Estos son los extremos locales de $g (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ es un máximo local

$(π, - 1)$ es un mínimo local

Paso 19