Cálculo Ejemplos

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.1.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5.1.2

Suma $2 \cdot 1 x$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Paso 4

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 5.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 7.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Paso 7.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{4}$

Paso 7.3

Divide $4$ por $4$ .

$1$

Paso 8

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 9

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Paso 9.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 9.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 9.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Paso 9.2.1.3

Reescribe $- 1 \frac{π}{2}$ como $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Paso 9.2.2

La respuesta final es $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Paso 11.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Paso 11.3

Divide $- 4$ por $4$ .

$- 1$

Paso 12

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 13.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Paso 13.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Paso 13.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Paso 13.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Paso 13.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Paso 13.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Paso 13.2.1.4

Multiplica $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Paso 13.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Paso 13.2.1.4.2

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Paso 13.2.2

La respuesta final es $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Paso 14

Estos son los extremos locales de $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ es un mínimo local

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ es un máximo local

Paso 15