Cálculo Ejemplos

$g (x) = 4 \sqrt[4]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 1.7.2

Resta $4$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 1.10

Combina $4$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.12

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.13

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ como ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Paso 2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 2.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1}$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}}$

Paso 2.6.2

Resta $4$ de $- 3$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}}$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Paso 2.8.2

Combina los términos.

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Paso 2.8.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ por $\frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{x^{\frac{7}{4}} \cdot 4}$

Paso 2.8.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{7}{4}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 4.1.7.2

Resta $4$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 4.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 4.1.9

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 4.1.10

Combina $4$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 4.1.11

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.12

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.13

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 5.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{7}{4}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$- \frac{3}{4 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{7}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{3}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{3}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11