Cálculo Ejemplos

$v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $70$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $70$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 35$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t + 3$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.9

Suma $1$ y $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2.12

Multiplica los exponentes en ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.2.13

Combina $- 35$ y $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.5

Multiplica $- 2$ por $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $- 6$ por $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.3.8

Resta $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $70 t$ de $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ .

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Paso 1.3.4.1.1

Factoriza $70 t$ de $70 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.1.2

Factoriza $70 t$ de $- 70 t^{3}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.1.3

Factoriza $70 t$ de $- 210 t^{2}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.1.4

Factoriza $70 t$ de $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.1.5

Factoriza $70 t$ de $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.2

Reescribe ${(t + 3)}^{2}$ como $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.3

Expande $(t + 3) (t + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.2

Suma $3 t$ y $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.5

Resta $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.6

Suma $6 t$ y $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.7

Resta $3 t$ de $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.8

Factoriza $3$ de $3 t + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.8.1

Factoriza $3$ de $3 t$ .

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.8.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.8.3

Factoriza $3$ de $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.9

Multiplica $3$ por $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $t + 3$ y ${(t + 3)}^{4}$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $t + 3$ de $210 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $t + 3$ de ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 210$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ con respecto a $t$ es $- 210 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{d}{d t} \frac{t}{{(t + 3)}^{3}}$

Paso 2.2

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{({(t + 3)}^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(t + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(t + 3)}^{3}$ por $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t + 3$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.5.2

Factoriza ${(t + 3)}^{2}$ de ${(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Factoriza ${(t + 3)}^{2}$ de ${(t + 3)}^{3}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza ${(t + 3)}^{2}$ de $- 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza ${(t + 3)}^{2}$ de ${(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} [t + 3]))$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Factoriza ${(t + 3)}^{2}$ de ${(t + 3)}^{6}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + 0)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t \cdot 1}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.10.3

Resta $3 t$ de $t$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.10.4

Combina $- 210$ y $\frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$v'' (t) = \frac{- 210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Multiplica $- 2$ por $210$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $210$ por $3$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.3

Factoriza $210$ de $- 420 t + 630$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.3.1

Factoriza $210$ de $- 420 t$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $210$ de $630$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 (3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $210$ de $210 (- 2 t) + 210 (3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 t$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.5

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) - 1 \cdot - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 t) - 1 (- 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.7

Reescribe $- (2 t - 3)$ como $- 1 (2 t - 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 1 (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$v'' (t) = 1 (\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}})$

Paso 2.11.10

Multiplica $\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ por $1$ .

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 4.1.1.2

Como $70$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $70$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 35$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Paso 4.1.2.2

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t + 3$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.9

Suma $1$ y $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2.12

Multiplica los exponentes en ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.2.13

Combina $- 35$ y $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3

Combina los términos.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.5

Multiplica $- 2$ por $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.7

Multiplica $- 6$ por $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3.8

Resta $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.4.1

Factoriza $70 t$ de $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ .

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Paso 4.1.3.4.1.1

Factoriza $70 t$ de $70 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.1.2

Factoriza $70 t$ de $- 70 t^{3}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.1.3

Factoriza $70 t$ de $- 210 t^{2}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.1.4

Factoriza $70 t$ de $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.1.5

Factoriza $70 t$ de $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.2

Reescribe ${(t + 3)}^{2}$ como $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.3

Expande $(t + 3) (t + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.4.4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.2

Suma $3 t$ y $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.5

Resta $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.6

Suma $6 t$ y $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.7

Resta $3 t$ de $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.8

Factoriza $3$ de $3 t + 9$ .

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Paso 4.1.3.4.8.1

Factoriza $3$ de $3 t$ .

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.8.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.8.3

Factoriza $3$ de $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.9

Multiplica $3$ por $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5

Cancela el factor común de $t + 3$ y ${(t + 3)}^{4}$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Factoriza $t + 3$ de $210 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.5.2.1

Factoriza $t + 3$ de ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (t) = - \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $v (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$210 t = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $210 t = 0$ por $210$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $210 t = 0$ por $210$ .

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $210$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{210}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $210$ .

$t = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(t + 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $t$

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Paso 6.2.1

Establece $t + 3$ igual a $0$ .

$t + 3 = 0$

Paso 6.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 3$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$t = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{210 (2 (0) - 3)}{{((0) + 3)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{210 (0 - 3)}{{(0 + 3)}^{4}}$

Paso 9.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{{(0 + 3)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{3^{4}}$

Paso 9.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{81}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Multiplica $210$ por $- 3$ .

$\frac{- 630}{81}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 630$ y $81$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $9$ de $- 630$ .

$\frac{9 (- 70)}{81}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 70}{9}$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{70}{9}$

Paso 10

$t = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$t = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $t = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$v (0) = 70 - \frac{35 {(0)}^{2}}{{((0) + 3)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{3^{2}}$

Paso 11.2.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{9}$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $35$ por $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{0}{9}$

Paso 11.2.1.4

Divide $0$ por $9$ .

$v (0) = 70 - 0$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$v (0) = 70 + 0$

Paso 11.2.2

Suma $70$ y $0$ .

$v (0) = 70$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $70$ .

$y = 70$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$(0, 70)$ es un máximo local

Paso 13