Cálculo Ejemplos

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.2

Como $20 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $70$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $70 y$ con respecto a $y$ es $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $70$ por $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.4

Como $\frac{x^{2}}{1000}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{1000}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $\frac{x}{100}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x y^{2}}{100}$ con respecto a $y$ es $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Paso 1.5.3

Combina $2$ y $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Paso 1.5.4

Combina $\frac{2 x}{100}$ y $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $2$ y $100$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Paso 1.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Paso 1.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Paso 1.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina los términos.

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Paso 1.6.1.1

Suma $0$ y $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Paso 1.6.1.2

Suma $70$ y $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$\frac{x y}{50} + 70$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x y}{50} + 70$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{x}{50}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x y}{50}$ con respecto a $y$ es $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{x}{50}$ por $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $70$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $70$ con respecto a $y$ es $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{x}{50}$ y $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.2

Como $20 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $70$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $70 y$ con respecto a $y$ es $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $70$ por $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.4

Como $\frac{x^{2}}{1000}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{1000}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Paso 4.1.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Paso 4.1.5.1

Como $\frac{x}{100}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x y^{2}}{100}$ con respecto a $y$ es $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Paso 4.1.5.3

Combina $2$ y $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Paso 4.1.5.4

Combina $\frac{2 x}{100}$ y $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Paso 4.1.5.5

Cancela el factor común de $2$ y $100$ .

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Paso 4.1.5.5.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Paso 4.1.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.5.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Paso 4.1.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Paso 4.1.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.6.1.1

Suma $0$ y $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Paso 4.1.6.1.2

Suma $70$ y $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Paso 4.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Paso 4.2

La primera derivada de $u (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Paso 5.2

Resta $70$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Paso 5.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x y = 50 \cdot - 70$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Multiplica $50$ por $- 70$ .

$x y = - 3500$

Paso 5.5

Divide cada término en $x y = - 3500$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $x y = - 3500$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3500}{x}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$y = - \frac{3500}{x}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $y = - \frac{3500}{x}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{x}{50}$

Paso 9

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 9.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $y$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 9.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la primera derivada $\frac{x y}{50} + 70$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 9.2.1

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Paso 9.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $50$ .

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Paso 9.2.2.1.1.1

Factoriza $50$ de $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Paso 9.2.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1.1.2.1

Factoriza $50$ de $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Paso 9.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Paso 9.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Paso 9.2.2.1.1.2.4

Divide $x \cdot (0)$ por $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Paso 9.2.2.1.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Paso 9.2.2.2

Suma $0$ y $70$ .

$u' (0) = 70$

Paso 9.2.2.3

La respuesta final es $70$ .

$70$

Paso 9.3

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 10