Cálculo Ejemplos

$S (t) = 68 - 20 \ln (t + 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $68 - 20 \ln (t + 1)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [68] + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [68] + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$

Paso 1.1.2

Como $68$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $68$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 20 \ln (t + 1)$ con respecto a $t$ es $- 20 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 1$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$0 - 20 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Paso 1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Paso 1.2.7

Multiplica $\frac{1}{t + 1}$ por $1$ .

$0 - 20 \frac{1}{t + 1}$

Paso 1.2.8

Combina $- 20$ y $\frac{1}{t + 1}$ .

$0 + \frac{- 20}{t + 1}$

Paso 1.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{20}{t + 1}$

Paso 1.3

Resta $\frac{20}{t + 1}$ de $0$ .

$- \frac{20}{t + 1}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{20}{t + 1}$ con respecto a $t$ es $- 20 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 1}]$ .

$S'' (t) = - 20 \frac{d}{d t} \frac{1}{t + 1}$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{t + 1}$ como ${(t + 1)}^{- 1}$ .

$S'' (t) = - 20 \frac{d}{d t} {(t + 1)}^{- 1}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 1$ .

$S'' (t) = - 20 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (t + 1))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$S'' (t) = - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$S'' (t) = - 20 (- {(t + 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$S'' (t) = 20 ({(t + 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (1))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} (1))$

Paso 2.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $20$ por $1$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$S'' (t) = 20 (\frac{1}{{(t + 1)}^{2}})$

Paso 2.4.2

Combina $20$ y $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$S'' (t) = \frac{20}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{20}{t + 1} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales