Cálculo Ejemplos

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ y $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 1.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Paso 1.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Paso 1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Paso 1.5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Paso 1.5.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Paso 1.5.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.2

Combina $\frac{3}{12}$ y ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Paso 1.6.3.6

Combina ${(t - 1)}^{2}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Paso 1.6.3.7

Para escribir $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 1.6.3.8

Combina $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Paso 1.6.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Paso 1.6.3.10

Combina $4$ y $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Paso 1.6.3.11

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.11.1

Factoriza $4$ de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Paso 1.6.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.3.11.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 1.6.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 1.6.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 1.6.4

Reordena los términos.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.4.1

Factoriza $3$ de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 1.6.5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.1

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.2

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.3.2

Resta $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.5.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.5.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.5.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.5.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.6.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.6.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.6.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.6.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.5.6.7

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Paso 1.6.5.6.8

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Paso 1.6.5.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Paso 1.6.5.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.6.9.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.6.9.2

Resta $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.7

Suma $- 6 t^{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.8

Resta $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.9

Suma $t^{3}$ y $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.10

Resta $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Paso 1.6.5.11

Suma $3 t$ y $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Paso 1.6.5.12

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Paso 1.6.5.13

Suma $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ y $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Paso 1.6.5.14

Reescribe $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.14.1

Factoriza $4 t$ de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.14.1.1

Factoriza $4 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Paso 1.6.5.14.1.2

Factoriza $4 t$ de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Paso 1.6.5.14.1.3

Factoriza $4 t$ de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Paso 1.6.5.14.1.4

Factoriza $4 t$ de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Paso 1.6.5.14.1.5

Factoriza $4 t$ de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Paso 1.6.5.14.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.14.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Paso 1.6.5.14.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Paso 1.6.5.14.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Paso 1.6.5.14.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 1.6.6.2

Divide $t {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Paso 1.6.7

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Paso 1.6.8

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Paso 1.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Paso 1.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.9.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.6.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.6.9.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.6.9.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.6.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Paso 1.6.9.2

Resta $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Paso 1.6.10

Aplica la propiedad distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 1.6.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.11.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.11.1.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.11.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 1.6.11.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 1.6.11.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 1.6.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Paso 1.6.11.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Paso 1.6.12

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.12.1

Mueve $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Paso 1.6.12.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Paso 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 4.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Paso 4.1.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Paso 4.1.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Paso 4.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Paso 4.1.5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Paso 4.1.5.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Paso 4.1.5.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.2

Combina $\frac{3}{12}$ y ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Paso 4.1.6.3.6

Combina ${(t - 1)}^{2}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Paso 4.1.6.3.7

Para escribir $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.1.6.3.8

Combina $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Paso 4.1.6.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Paso 4.1.6.3.10

Combina $4$ y $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Paso 4.1.6.3.11

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.11.1

Factoriza $4$ de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Paso 4.1.6.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.11.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 4.1.6.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 4.1.6.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Paso 4.1.6.4

Reordena los términos.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.4.1

Factoriza $3$ de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Paso 4.1.6.5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.1

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.2

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.3.2

Resta $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.5.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.5.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.5.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.6.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.6.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.6.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.6.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.7

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.8

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.6.9.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.6.9.2

Resta $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.7

Suma $- 6 t^{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.8

Resta $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.9

Suma $t^{3}$ y $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.10

Resta $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.11

Suma $3 t$ y $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Paso 4.1.6.5.12

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Paso 4.1.6.5.13

Suma $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ y $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Paso 4.1.6.5.14

Reescribe $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.14.1

Factoriza $4 t$ de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.14.1.1

Factoriza $4 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.1.2

Factoriza $4 t$ de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.1.3

Factoriza $4 t$ de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.1.4

Factoriza $4 t$ de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.1.5

Factoriza $4 t$ de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.14.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Paso 4.1.6.5.14.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Paso 4.1.6.5.14.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Paso 4.1.6.6.2

Divide $t {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Paso 4.1.6.7

Reescribe ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Paso 4.1.6.8

Expande $(t - 1) (t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Paso 4.1.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Paso 4.1.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 4.1.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.9.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 4.1.6.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 4.1.6.9.1.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Paso 4.1.6.9.1.4

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Paso 4.1.6.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Paso 4.1.6.9.2

Resta $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Paso 4.1.6.10

Aplica la propiedad distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 4.1.6.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.11.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.11.1.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.11.1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 4.1.6.11.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 4.1.6.11.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Paso 4.1.6.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Paso 4.1.6.11.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Paso 4.1.6.12

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.12.1

Mueve $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Paso 4.1.6.12.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Paso 4.2

La primera derivada de $s (t)$ con respecto a $t$ es $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $t$ de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $t$ de $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Paso 5.2.1.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $t$ de $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $t$ de $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Paso 5.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Paso 5.4

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 5.5

Establece ${(t - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece ${(t - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve ${(t - 1)}^{2} = 0$ en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Establece $t - 1$ igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Paso 5.5.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $t {(t - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$t = 0, 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$t = 0, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 9.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 + 1$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 1$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 10

$t = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$t = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Paso 11.2.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Paso 11.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Paso 11.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $t = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 13.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 - 4 + 1$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Resta $4$ de $3$ .

$- 1 + 1$

Paso 13.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $t$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 2$ en la expresión.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 14.2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 14.2.2.2.2

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.2.2.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Paso 14.2.2.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Paso 14.2.2.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Paso 14.2.2.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Paso 14.2.2.3

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.3.1

Resta $8$ de $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Paso 14.2.2.3.2

Resta $2$ de $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Paso 14.2.2.4

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $t$ con $0.5$ en la expresión.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Paso 14.3.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.2.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Paso 14.3.2.2.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Paso 14.3.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Paso 14.3.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.3.1

Resta $0.5$ de $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Paso 14.3.2.3.2

Suma $- 0.375$ y $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Paso 14.3.2.4

La respuesta final es $0.125$ .

$0.125$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $t$ con $4$ en la expresión.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Paso 14.4.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Paso 14.4.2.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Paso 14.4.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Paso 14.4.2.3

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.3.1

Resta $32$ de $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Paso 14.4.2.3.2

Suma $32$ y $4$ .

$s' (4) = 36$

Paso 14.4.2.4

La respuesta final es $36$ .

$36$

Paso 14.5

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $t = 0$ , $t = 0$ es un mínimo local.

$t = 0$ es un mínimo local

Paso 14.6

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $t = 1$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.7

Estos son los extremos locales de $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ es un mínimo local

Paso 15