Cálculo Ejemplos

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3 i$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 \sin (t) i$ con respecto a $t$ es $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5 j$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5 \cos (3 t) j$ con respecto a $t$ es $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

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Paso 1.4.1

Como $k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $e^{- 7 t} k$ con respecto a $t$ es $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - 7 t$ .

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Paso 1.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Paso 1.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Paso 1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Paso 1.4.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Paso 1.4.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Paso 1.4.6

Mueve $- 7$ a la izquierda de $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reordena los términos.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

Paso 1.5.2

Reordena los factores en $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3 i$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 i \cos (t)$ con respecto a $t$ es $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $15 j$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $15 j \sin (3 t)$ con respecto a $t$ es $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.3.7

Multiplica $3$ por $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 7 k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 k e^{- 7 t}$ con respecto a $t$ es $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - 7 t$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Paso 2.4.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Paso 2.4.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Paso 2.4.6

Mueve $- 7$ a la izquierda de $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

Paso 2.4.7

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

Paso 4

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.2

Multiplica $0$ por $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.3

Multiplica $0$ por $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.6

Multiplica $45$ por $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Paso 5.1.7

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

Paso 5.1.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

Paso 5.1.9

Multiplica $49$ por $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

Paso 5.2

Suma $0$ y $45 j$ .

$45 j + 49 k$

Paso 6

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 7